人教a版数学选修11作业331函数的单调性与导数含答案

§3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数课时目标掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．1．函数的单调性与其导函数的关系：在某个区间(a，b)内，如果__________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果________，那么函数y＝f(x)在这个区间内______________；如果恒有__________，那么函数f(x)在这个区间内为常函数．2．一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内____________，这时，函数的图象就比较“________”；反之，函数的图象就比较“________”．3．求函数单调区间的步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数定义域内解不等式f′(x)0和f′(x)0；(4)确定f(x)的单调区间．一、选择题1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若在区间(a，b)内，f′(x)0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有()A．f(x)0B．f(x)0C．f(x)＝0D．不能确定3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．sinxB．xexC．x3－xD．lnx－x4．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上是()A．增函数B．减函数C．先增后减D．不确定5．定义在R上的函数f(x)，若(x－1)·f′(x)0，则下列各项正确的是()A．f(0)＋f(2)2f(1)B．f(0)＋f(2)＝2f(1)C．f(0)＋f(2)2f(1)D．f(0)＋f(2)与2f(1)大小不定6．函数y＝ax－lnx在(12，＋∞)内单调递增，则a的取值范围为()A．(－∞，0]∪[2，＋∞)B．(－∞，0]C．[2，＋∞)D．(－∞，2]题号123456答案二、填空题7．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间是____________．8．已知f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，则a的取值范围为________．9．使y＝sinx＋ax在R上是增函数的a的取值范围为____________．三、解答题10．求函数f(x)＝2x2－lnx的单调区间．11.(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，求b，c的值．(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．能力提升12．判断函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1的单调性．13．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．§3.3导数在研究函数中的应用3．3.1函数的单调性与导数答案知识梳理1．f′(x)0f′(x)0单调递减f′(x)＝02．变化得快陡峭平缓作业设计1．A[f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1x1)，故甲是乙的充分不必要条件．]2．A[因为f(x)在(a，b)上为增函数，∴f(x)f(a)≥0.]3．B[A中，y′＝cosx，当x0时，y′的符号不确定；B中，y′＝ex＋xex＝(x＋1)ex，当x0时，y′0，故在(0，＋∞)内为增函数；C中：y′＝3x2－1，当x0时，y′－1；D中，y′＝1x－1，当x0时，y′－1.]4．A[f′(x)＝2－cosx，∵cosx≤1，∴f′(x)0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．]5．C[当x1时，f′(x)0，f(x)是减函数，∴f(1)f(2)．当x1时，f′(x)0，f(x)是增函数，∴f(0)f(1)．因此f(0)＋f(2)2f(1)．]6．C[∵y′＝a－1x，函数y＝ax－lnx在12，＋∞内单调递增，∴函数在(12，＋∞)上y′≥0，即a－1x≥0，∴a≥1x.由x12得1x2，要使a≥1x恒成立，只需a≥2.]7．(－1,11)解析∵f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x＋1)(x－11)．由f′(x)0，得－1x11，∴f(x)的单减区间为(－1,11)．8．(－∞，－3]解析f′(x)＝3ax2＋6x－1≤0恒成立⇔a0Δ≤0，即a036＋12a≤0，∴a≤－3.9．[1，＋∞)解析∵f′(x)＝cosx＋a≥0，∴a≥－cosx，又－1≤cosx≤1，∴a≥1.10．解由题设知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝4x－1x＝4x2－1x，由f′(x)0，得x12，由f′(x)0，得0x12，∴函数f(x)＝2x2－lnx的单调增区间为12，＋∞，单调减区间为0，12.11．解(1)∵函数f(x)的导函数f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题设知－1x2是不等式3x2＋2bx＋c0的解集．∴－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个实根，∴－1＋2＝－23b，(－1)×2＝c3，即b＝－32，c＝－6.(2)∵f′(x)＝3ax2＋1，且f(x)有三个单调区间，∴方程f′(x)＝3ax2＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×1×3a0，∴a0.∴a的取值范围为(－∞，0)．12．解由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a＋1x＋2ax＝2ax2＋a＋1x.①当a≥0时，f′(x)0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a≤－1时，f′(x)0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－1a0时，令f′(x)＝0，解得x＝－a＋12a，则当x∈0，－a＋12a时，f′(x)0；当x∈－a＋12a，＋∞时，f′(x)0.故f(x)在0，－a＋12a上单调递增，在－a＋12a，＋∞上单调递减．综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－1a0时，f(x)在0，－a＋12a上单调递增，在－a＋12a，＋∞上单调递减．13．解(1)由已知，得f′(x)＝3x2－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈(－∞，＋∞)恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0.又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在实数集R上单调递增，所以a≤0.(2)假设f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，则a≥3x2在x∈(－1,1)时恒成立．因为－1x1，所以3x23，所以只需a≥3.当a＝3时，在x∈(－1,1)上，f′(x)＝3(x2－1)0，即f(x)在(－1,1)上为减函数，所以a≥3.故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．