人教版高中数学选修44练习第一讲二极坐标Word版含解析

第一讲坐标系二、极坐标A级基础巩固一、选择题1．点P的直角坐标为(1，－3)，则它的极坐标是()A.2，π3B.2，4π3C.2，－π3D.2，－4π3解析：ρ＝2，tanθ＝－3，因为点P(1，－3)在第四象限，故取θ＝－π3，所以点P的极坐标为2，－π3.答案：C2．设点P对应的复数为－3＋3i，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为()A.32，34πB.－32，54πC.3，54πD.－3，34π解析：点P的直角坐标是(－3，3)，极坐标是32，3π4.答案：A3．已知极坐标系中，极点为O，若等边三角形ABC(顶点A，B，C按顺时针方向排列)的顶点A，B的极坐标分别是2，π6，2，7π6，则顶点C的极坐标为()A.23，π6B.22，π4C.23，2π3D.22，2π3解析：依题意可知△ABC如图所示，显然OC⊥AB，|OC|＝23，∠COx＝π2＋π6＝2π3，所以C23，2π3.答案：C4．若ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，则点M(ρ1，θ1)与点N(ρ2，θ2)的位置关系是()A．关于极轴所在直线对称B．关于极点对称C．关于过极点与极轴垂直的直线对称D．重合解析：因为ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，故点M，N位于过极点的直线上，且到极点的距离相等，即关于极点对称．答案：B5．极坐标系中，O为极点，已知A4，π6，B4，－π6，则|AB|等于()A．43B．4C．23D．2解析：由A4，π6，B4，－π6知∠AOB＝π6－－π6＝π3，又|OA|＝|OB|＝4，故△AOB为等边三角形，故|AB|＝4.答案：B二、填空题6．已知A，B两点的极坐标为6，π3，8，4π3，则线段AB中点的直角坐标为________．解析：因为A，B两点的极坐标为6，π3，8，4π3，所以A，B两点的直角坐标是(3，33)，(－4，－43)，所以线段AB中点的直角坐标是－12，－32.答案：－12，－327．在极坐标系中，O为极点，若A3，π3，B－4，7π6，则△AOB的面积等于________．解析：点B的极坐标可表示为4，π6，则∠AOB＝π3－π6＝π6，故S△OAB＝12|OA|·|OB|sin∠AOB＝12×3×4·sinπ6＝3.答案：38．平面直角坐标系中，若点P3，7π2经过伸缩变换x′＝2x，y′＝13y后的点为Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________．解析：因为点P3，7π2经过伸缩变换x′＝2x，y′＝13y后的点为Q6，7π6，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6sin7π6＝3.答案：3三、解答题9．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ0，0≤θ2π)．(1)(3，3)；(2)(－1，－1)；[来源:学科网ZXXK](3)(－3，0)解：(1)ρ＝（3）2＋32＝23，tanθ＝33＝3.又因为点在第一象限，所以θ＝π3.所以点(3，3)的极坐标为23，π3.(2)ρ＝（－1）2＋（－1）2＝2，tanθ＝1.又因为点在第三象限，所以θ＝5π4.所以点(－1，－1)的极坐标为2，5π4.(3)ρ＝（－3）2＋02＝3，可知极角为π，所以点(－3，0)的极坐标为(3，π)．10．某大学校园的部分平面示意图如图所示．用点O，A，B，C，D，E，F，G分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|＝|BC|，|OC|＝600m．建立适当的极坐标系，写出除点B外各点的极坐标[限定ρ≥0，0≤θ2π且极点为(0，0)]．解：以O为极点，OA所在射线为极轴建立极坐标系，因为|OC|＝600，∠AOC＝π6，故C600，π6.又|OA|＝600×cosπ6＝3003，|OD|＝600×sinπ6＝300，[来源:学,科,网]|OE|＝3002，|OF|＝300，|OG|＝1502.故A(3003，0)，D300，π2，E3002，3π4，F(300，π)，G1502，3π4.B级能力提升1．点M的极坐标是－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是()A.2，11π6B.－2，7π6C.2，－π6D.－2，－11π6解析：因为ρ＝－20，[来源:学科网]所以找点－2，－π6时，先找到角－π6的终边，再在其反向延长线找到离极点2个单位的点，就是－2，－π6，如图所示．故M－2，－π6关于直线θ＝π2的对称点为M′2，π6，又因为M′2，π6的坐标还可以写成M′－2，7π6，故选B.答案：B2．在极坐标系中，定点A2，32π，点B的一个极坐标为ρ，116π(ρ0)，当线段AB最短时，点B的极坐标为__________________．答案：1，11π6＋2kπ(k∈Z)3．舰A在舰B的正东方向6km处，舰C在舰B的北偏西30°方向4km处，它们围捕海洋动物．某时刻舰A发现动物的信号，4秒后舰B，舰C同时发现这种信号．设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1km/s，若以舰A所在地为极点建立极坐标系，求动物所处位置的极坐标．[来源:学科网]解：对舰B而言，A，C两舰位置如图所示，取A，B所在直线为x轴，以AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A，B，C三舰的坐标分别为(3，0)，(－3，0)，(－5，23)．由于B，C同时发现动物信号，记动物所处位置为P，则|PB|＝|PC|.于是点P在BC的中垂线l上，易求得其方程为3x－3y＋73＝0.[来源:Z.xx.k.Com]又由A，B两舰发现动物信号的时间差为4秒知|PB|－|PA|＝4，于是知P应在双曲线x24－y25＝1的右支上．直线l与双曲线的交点P(8，53)即为动物的位置．根据两点的斜率公式得直线PA的倾斜角为60°，于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.由两点间的距离公式得|PA|＝10.所以以舰A所在地为极点，动物所处位置的极坐标为10，π3.