人教版高中数学选修44练习第二讲一第1课时参数方程的概念参数方程与普通方程的互化Word版含

第二讲参数方程一、曲线的参数方程第1课时参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化A级基础巩固一、选择题1．方程x＝1＋sinθ，y＝sin2θ(θ为参数)所表示曲线经过下列点中的()A．(1，1)B.32，12C.32，32D.2＋32，－12解析：当θ＝π6时，x＝32，y＝32，所以点32，32在方程x＝1＋sinθ，y＝sinθ(θ为参数)所表示的曲线上．答案：C[来源:学,科,网]2．下列方程可以作为x轴的参数方程的是()A.x＝t2＋1，y＝0B.x＝0，y＝3t＋1C.x＝1＋sinθ，y＝0D.x＝4t＋1，y＝0解析：选项A表示x轴上以(1，0)为端点向右的射线；选项B表示的是y轴；选项C表示x轴上以(0，0)和(2，0)为端点的线段；只有选项D可以作为x轴的参数方程．答案：D3．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为()A.x＝2t，y＝t(t为参数)B.x＝－2t，y＝t(t为参数)C.x＝2t，y＝－t(t为参数)D.x＝－2t，y＝－t(t为参数)解析：设(x，y)为所求轨迹上任一点．由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0得：(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2.所以x＝2t，y＝t(t为参数)答案：A4．参数方程x＝2＋sin2θ，y＝－1＋cos2θ(θ为参数)化为普通方程是()[来源:学科网ZXXK]A．2x－y＋4＝0B．2x＋y－4＝0C．2x－y＋4＝0，x∈[2，3]D．2x＋y－4＝0，x∈[2，3]解析：由x＝2＋sin2θ，则x∈[2，3]，sin2θ＝x－2，y＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ＝－2x＋4，即2x＋y－4＝0.故化为普通方程为2x＋y－4＝0，x∈[2，3]．答案：D5．参数方程x＝cosθ2＋sinθ2，y＝12（1＋sinθ）(0≤θ2π)表示的是()A．双曲线的一支，这支过点1，12B．抛物线的一部分，这部分过点1，12C．双曲线的一支，这支过点1，－12D．抛物线的一部分，这部分过点1，－12解析：因为x＝2sinθ2＋π4，故x∈[0，2]，又y＝12(1＋sinθ)，故y∈[0，1]．因为x2＝1＋sinθ，所以sinθ＝x2－1，代入y＝12(1＋sinθ)中得y＝12x2，即x2＝2y，(0≤x≤2，0≤y≤1)表示抛物线的一部分，又2×12＝1，故过点1，12.答案：B二、填空题6．若x＝cosθ，θ为参数，则曲线x2＋(y＋1)2＝1的参数方程为______________．解析：把x＝cosθ代入曲线x2＋(y＋1)2＝1，得cos2θ＋(y＋1)2＝1，于是(y＋1)2＝1－cos2θ＝sin2θ，即y＝－1±sinθ.由于参数θ的任意性，可取y＝－1＋sinθ，因此，曲线x2＋(y＋1)2＝1的参数方程为[来源:学+科+网Z+X+X+K]x＝cosθ，y＝－1＋sinθ(θ为参数)．答案：x＝cosθy＝－1＋sinθ(θ为参数)7．在平面直角坐标系中，曲线C：x＝2＋22t，y＝1＋22t(t为参数)的普通方程为________________．解析：因为x＝2＋22t，所以22t＝x－2，代入y＝1＋22t，得y＝x－1，即x－y－1＝0.答案：x－y－1＝08．已知某条曲线C的参数方程为x＝1＋2t，y＝at2(其中t为参数，a∈R)．点M(5，4)在该曲线上，则常数a＝________．解析：因为点M(5，4)在曲线C上，所以5＝1＋2t，4＝at2，解得t＝2，a＝1.所以a的值为1.答案：1三、解答题9．指出下列参数方程表示什么曲线：(1)x＝3cosθ，y＝3sinθ(θ为参数，0θπ2)；(2)x＝2cost，y＝2sint(t为参数，π≤t≤2π)；(3)x＝3＋15cosθ，y＝2＋15sinθ(θ为参数，0≤θ2π)．解：(1)由x＝3cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)得x2＋y2＝9.又由0θπ2，得0x3，0y3，所以所求方程为x2＋y2＝9(0x3且0y3)．这是一段圆弧(圆x2＋y2＝9位于第一象限的部分)．(2)由x＝2cost，y＝2sint(t为参数)得x2＋y2＝4.由π≤t≤2π，得－2≤x≤2，－2≤y≤0.所求圆方程为x2＋y2＝4(－2≤x≤2，－2≤y≤0)．这是一段半圆弧(圆x2＋y2＝4位于y轴下方的部分，包括端点)．(3)由参数方程x＝3＋15cosθ，y＝2＋15sinθ(θ为参数)得(x－3)2＋(y－2)2＝152，由0≤θ2π知这是一个整圆．10．已知曲线C的参数方程是x＝3t，y＝2t2＋1(t为参数)．(1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系；(2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值．解：(1)把点M1的坐标(0，1)代入参数方程得0＝3t，1＝2t2＋1，解得t＝0，所以点M1在曲线C上．把点M2的坐标(5，4)代入参数方程得5＝3t，4＝2t2＋1，即t＝53，t2＝32，无解，所以点M2不在曲线C上．(2)因为点M3(6，a)在曲线C上，所以6＝3t，a＝2t2＋1.解得t＝2，a＝9.所以a＝9.B级能力提升1．当参数θ变化时，由点P(2cosθ，3sinθ)所确定的曲线过点()A．(2，3)B．(1，5)C.0，π2D．(2，0)解析：先将P(2cosθ，3sinθ)化为方程为x24＋y29＝1，再将选项代进去，可得到的是(2，0)．答案：D2．已知曲线C的参数方程是x＝1＋5cosα，y＝2＋5sinα(α为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是__________________．解析：曲线C的普通方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2－2x－4y＝0，把ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得其极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＝0，即ρ＝2cosθ＋4sinθ.答案：ρ＝2cosθ＋4sinθ3．已知曲线C1的参数方程为x＝4＋5cost，y＝5＋5sint(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ2π)．解：(1)将x＝4＋5cost，y＝5＋5sint消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，[来源:学科网]即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.[来源:学_科_网Z_X_X_K](2)由x2＋y2－8x－10y＋16＝0，x2＋y2－2y＝0，解得x＝1，y＝1或x＝0，y＝2.所以C1与C2交点的极坐标分别为2，π4，2，π2.