充分条件与必要条件典型例题

高考网充分条件与必要条件·典型例题能力素质例1已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q的[]A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析利用韦达定理转换．解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x1，x2的值分别为1，－6，∴x1＋x2＝1－6＝－5．因此选A．说明：判断命题为假命题可以通过举反例．例2p是q的充要条件的是[]A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b＜2，q：a＞bC．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解分析逐个验证命题是否等价．解对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件；对B．pq但qp，p是q的充分非必要条件；对C．pq且qp，p是q的必要非充分条件；对．且，即，是的充要条件．选．DpqqppqpqD说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解．例3若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的[]A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件高考网、C作为桥梁联系A、D．解∵A是B的充分条件，∴AB①∵D是C成立的必要条件，∴CD②∵是成立的充要条件，∴③CBCB由①③得AC④由②④得AD．∴D是A成立的必要条件．选B．说明：要注意利用推出符号的传递性．例4设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的[]A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析先解不等式再判定．解解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5．∵0＜x＜5－1＜x＜5，但－1＜x＜50＜x＜5∴甲是乙的充分不必要条件，选A．说明：一般情况下，如果条件甲为x∈A，条件乙为x∈B．当且仅当时，甲为乙的充分条件；当且仅当时，甲为乙的必要条件；ABAB当且仅当A＝B时，甲为乙的充要条件．例5设A、B、C三个集合，为使A(B∪C)，条件AB是[]A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析可以结合图形分析．请同学们自己画图．∴A(B∪C)．但是，当B＝N，C＝R，A＝Z时，显然A(B∪C)，但AB不成立，综上所述：“AB”“A(B∪C)”，而“A(B∪C)”“AB”．即“AB”是“A(B∪C)”的充分条件(不必要)．选A．说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况．高考网给出下列各组条件：(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1．其中p是q的充要条件的有[]A．1组B．2组C．3组D．4组分析使用方程理论和不等式性质．解(1)p是q的必要条件(2)p是q充要条件(3)p是q的充分条件(4)p是q的必要条件．选A．说明：ab＝0指其中至少有一个为零，而a2＋b2＝0指两个都为零．例＞＞是＞＞的条件．7x3x3xxx12112x269分析将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系．解＞且＞＋＞且＞，但当取＝，＝时，＞＞成立，而＞＞不成立＝与＞矛盾，所以填“充分不必要”．x3x3xx6xx9x10x2(x2x3)1212121222xxxxxx1212126933说明：＞＞－＞－＞x3x3x30x301212(x3)(x3)0(x3)(x3)0xx6xx3(xx)901212121212－＋－＞－－＞＋＞－＋＋＞这一等价变形方法有时会用得上．点击思维例8已知真命题“a≥bc＞d”和“a＜be≤f”，则“c≤d”是“e≤f”的________条件．高考网分析∵a≥bc＞d(原命题)，∴c≤da＜b(逆否命题)．而a＜be≤f，∴c≤de≤f即c≤d是e≤f的充分条件．答填写“充分”．说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法．例9ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是[]A．0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D．0＜a≤1或a＜0分析此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之．当a＝1时，方程有负根x＝－1，当a＝0时，x＝－．故排除、、选．12ABDC解常规方法：当＝时，＝－．a0x12当a≠0时1a0ax2x10021a0a12．＞，则＋＋＝至少有一个负实根＜－＜＜≤．24422aa2a0ax2x100221a21a1a02．＜，则＋＋＝至少有一个负实根＜＞－＞－＞＜．2442aa综上所述a≤1．即ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1．说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法．例10已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s，r，p分别是q的什么条件？分析画出关系图1－21，观察求解．解s是q的充要条件；(srq，qs)r是q的充要条件；(rq，qsr)高考网的必要条件；(qsrp)说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系．例11关于x的不等式|x|x3(a1)x2(3a1)0ABAB1a3a12－≤与－＋＋＋≤的解集依次为与，问“”是“≤≤或＝－”的充要条件吗？()()aa121222分析化简A和B，结合数轴，构造不等式(组)，求出a．解A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}当≤＋即≥时，23a1a13B＝{x|2≤x≤3a＋1}．AB2a2a+13a+11a323a1a2≥≤≤≤当＞＋即＜时，13B＝{x|3a＋1≤x≤2}AB2a3a+1a+12a1ABa11a3AB1a3a12≥≤＝－．综上所述：＝－或≤≤．∴“”是“≤≤或＝－”的充要条件．说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关．在解题时要理清思路，表达准确，推理无误．学科渗透例＞，＞是＜的必要条件还是充分条件，还是充12xyxy011xy要条件？分析将充要条件和不等式同解变形相联系．解．当＜时，可得－＜即＜1001111xyxyyxxy高考网则－＞＜或－＜＞，即＜＜或＞＞，yx0xy0yx0xy0xyxy0x0yxy故＜不能推得＞且＞有可能得到＜＜，即＞且＞并非＜的必要条件．11011xyxyxyxyxyxy0()xyxy02xyxy0xyx0y0xyx0y0xyxy0．当＞且＞则分成两种情况讨论：＞＞＞或＞＜＜不论哪一种情况均可化为＜．∴＞且＞是＜的充分条件．1111xyxy说明：分类讨论要做到不重不漏．例13设α，β是方程x2－ax＋b＝0的两个实根，试分析a＞2且b＞1是两根α，β均大于1的什么条件？分析把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需要搞清楚条件与结论分别指什么．然后再验证是还是还是．pqpqqppq解据韦达定理得：＝α＋β，＝αβ，判定的条件是：＞＞结论是：α＞β＞还要注意条件中，，需要满足大前提Δ＝－≥abpq(paba4b0)2ab2111(1)1a2b1由α＞β＞得＝α＋β＞，＝αβ＞，1∴qp．高考网上述讨论可知：a＞2，b＞1是α＞1，β＞1的必要但不充分条件．说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用．高考巡礼例14(1991年全国高考题)设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么[]A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件分析1：由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不必要条件．分析2：画图观察之．答：选A．说明：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便