函数8226典型例题分析

函数·典型例题分析例1与函数y=x表示相同函数的是[]则、值域不同，排除C．而评注判断两个函数是否相同，要看函数的三要素：定义域，值域，对应法则．其中对应法则不能仅仅从解析式上考虑，要分析其对应法则的本质．例2求下列函数的定义域(5)设f(x)的定义域为[0，2]，求函数f(x+a)+f(x-a)(a＞0)的定义域．∴定义域是空集，函数是虚设的函数(2)由函数式可得∴函数的定义域是{x|x=-1}，定义域是一个孤立的点(-1，0)的横坐标(3)∵x2-4≠0∴x≠±2∴函数定义域为(-∞，-2)∪(-2，+2)∪(2，+∞)(4)从函数式可知，x应满足的条件为∴函数的定义域为(5)∵f(x)定义域为[0，2]所以f(x+a)+f(x-a)中x应满足又∵a＞0，若2-a≥a，则a≤1即0＜a≤1时，f(x+a)+f(x-a)的定义域为{x|a≤x≤2-a}当a＞1时，x∈评注求f(x)的定义域就是求使函数f(x)有意义的x的取值范围，定义域表示法有：不等式法，集合法，区间表示法等．例3求下列函数的值域解(1)由原式可化为(2)将函数变形，整理可得：2yx2-4yx+3y-5=0当y=0时，-5=0不可能，故y≠0∵x∈R∴Δ=(-4y)2-4×2y×(3y-5)≥0即y(y-5)≤0解得0≤y≤5而y≠0∴0＜y≤5故函数值域为(0，5]此二次函数对称轴为t=-1评注求函数值域方法很多，此例仅以三个方面给出例子．学习时要分析函数式的结构特征，从而确定较简单的求值域的方法．例4(1)已知f(x)=x2，g(x)为一次函数，且y随x值增大而增大．若f[g(x)]=4x2-20x+25，求g(x)的解析式解(1)∵g(x)为一次函数，且y随x值增大而增大故可设g(x)=ax+b(a＞0)∵f[g(x)]=4x2-20x+25∴(ax+b)2=4x2-20x+25即：a2x2+2abx+b2=4x2-20+25解得a=2，b=-5故g(x)=2x-5于是有t的象是t2-1，即f(t)=t2-1(t≥1)故f(x)=x2-1(x≥1)∴f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x≥0)f(x2)=x4-1(x≤-1或x≥1)评注对于(1)是用待定系数法求函数的解析式，要根据题意设出函数的形式，再利用恒等式的性质解之．求函数解析式的常用方法还有拼凑法，代换法(如(2))，解方程组等．例5如图1-7，灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽及两边坡总长度为a，边坡的倾角为60°．(1)求横断面积y与底宽x的函数关系式；评注本题是有关函数的实际问题，其方法是把实际问题用数学的形式表示出来，建立变量之间的函数关系．例6设x≥0时，f(x)=2，x＜0时，f(x)=1又解当0＜x＜1时，x-1＜0，x-2＜0当1≤x＜2时，x-1≥0，x-2＜0当x≥2时，g(x)=2评注分段函数关键是在x的不同条件下计算方法不同，不要认为是三个不同函数．