函数的应用举例例题解析

高考网函数的应用举例·例题解析1．几何问题类用函数思想解决几何(如平面几何、立体几何及解析析几何)问题，这是常常出现的数学本身的综合运用问题．【例1】如图2．9－1，一动点P自边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，沿正方形的边界运动一周，再回到A点．若点P的路程为x，点P到顶点A的距离为y，求A、P两点间的距离y与点P的路程x之间的函数关系式．解(1)当点P在AB上，即0≤x≤1时，AP＝x，也就是y＝x．(2)当点P在BC边上，即1＜x≤2时，AB=1，AB＋BP＝x，BP＝x－1，根据勾股定理，得AP2＝AB2＋BP2∴．y=AP=1+(x1)2xx222(3)当点P在DC边上，即2＜x≤3时，AD＝1，DP＝3－x．根据勾股定理，得AP2=AD2＋DP2．∴y=AP=1+(3x)2xx2610(4)当点P在AD边上，即3＜x≤4时，有y=AP＝4－x．∴所求的函数关系式为2．行程问题类【例2】已知，A、B两地相距150公里，某人开汽车以60公里/小时的速度从A地到达B地，在B地停留一小时后再以50公里/小时的速度返回A地，求汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数．解根据题意：(1)汽车由A到B行驶t小时所走的距离x=60t，(0≤t≤2.5)(2)汽车在B地停留1小时，则B地到A地的距离x＝150(2.5＜x≤3.5)高考网(3)由B地返回A地，则B地到A地的距离x=150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜x≤6.5)总之≤≤＜≤－＜≤x=60t(0t2.5)150(2.5t3.5)32550t(3.5t6.5)3．工程设计问题类工程设计问题是指运用数学知识对工程的定位、大小、采光等情况进行合理布局、计算的一类问题．【例3】要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图2．9－2所示)，在窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？解设半圆的直径为x，矩形的高度为y，窗户透光面积为S，则窗框总长＋＋，l=x2x2y∴＋＋·－y=2(2+)x4S=xxy=x2(2+)x4x=22llll8848242422()()x当时，，此时，x=24+S=y=4+max2lll242()x答窗户中的矩形高为，且半径等于矩形的高时，窗户的透光l4面积最大．高考网说明应用二次函数解实际问题，关键是设好适当的一个变量，建立目标函数．【例4】要使火车安全行驶，按规定，铁道转弯处的圆弧半径不允许小于600米，如果某段铁路两端相距156米，弧所对的圆心角小于180°，试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围．解设园的半径为R，圆弧弓形高CD=x(m)．在Rt△BOD中，DB＝78，OD=B－x∴(R－x)2＋782=R2解得R=x260842x由题意知R≥600∴≥xx260842600得x2－1200x＋6084≥0(x＞0)，解得x≤5.1或x≥1194.9(舍)∴圆弧弓形高的允许值范围是(0，5.1]．4．营销问题类这类问题是指在营销活动中，计算产品成本、利润(率)，确定销售价格．考虑销售活动的盈利、亏本等情况的一类问题．在营销问题中，应掌握有关计算公式：利润=销售价－进货价．【例5】将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，若每件售价涨价0.5元，其销售量就减少10件．问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出这个最大利润．解设每件售价提高x元，则每件得利润(2＋x)元，每天销售量变为(200－20x)件，所获利润y=(2＋x)(200－20x)=－20(x－4)2＋720当x=4时，即售价定为14元时，每天可获最大利润为720元．5．单利问题类单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算．设本金为P元，每期利率高考网，经过n期后，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1＋nR)．【例6】某人于1996年6月15日存入银行1000元整存整取定期一年储蓄，月息为9‰，求到期的本利和为多少？解这里P=1000元，r=9‰，n＝12，由公式得S12＝P(1＋12r)＝1000×(1＋0.009×12)=1108元．答本利和为1108元．6．复利问题类复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1＋r)x．【例7】某企业计划发行企业债券，每张债券现值500元，按年利率6.5％的复利计息，问多少年后每张债券一次偿还本利和1000元？(参考lg2=0.3010，lg1.065＝0.0274)．解设n年后每张债券一次偿还本利和1000元，由1000=500(1＋6.5％)n，解得n=lg2/lg1.065≈11．答11年后每张债券应一次偿还本利和1000元．7．函数模型类这个问题是指在问题中给出函数关系式，关系式中有的带有需确定的参数，这些参数需要根据问题的内容或性质来确定之后，然后使问题本身获解．【例8】某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=abx＋c(其中a、b、c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．解设二次函数y1＝f(x)=px2＋qx＋x(p≠0)则＋＋＋＋＋＋f(1)=pqr=1f(2)=4p2qr=1.2f(3)=9p3qr=1.3P=0.05q=0.35r=0.7－∴y1=f(x)=－0.05x2＋0.35x＋0.7高考网(4)=－0.05×16＋0.35×4＋0.7=1.3又y=abx＋c得·＋·＋·＋－abc=1abc=1.2abc=1.3a=0.8b=12c=1.423∴－＋当时，－＋经比较可知：用－＋作模拟函数较好．y=0.8(12)1.4x=4y=0.8(12)1.4=1.35y=0.8(12)1.4x4x【例9】有甲乙两种产品，生产这两种产品所能获得的利润依次是和万元，它们与投入资金万元的关系是，＝，今PQ()x()P=x4Q34x投入3万元资金生产甲、乙两种产品，为获得最大利润，对甲、乙两种产品的资金投入分别应为多少？最大利润是多少？解设投入甲产品资金为x万元，投入乙产品资金为(3－x)万元，总利润为y万元．y=PQ=14x(0x3)t=3xx=3t(0t)y=14(3t)t=1422＋＋≤≤令则－≤≤，∴－[phone]xt()当时，此时，－．t=32y=2116x=3t=34max2答对甲、乙产品分别投资为0.75万元和2.25万元，获最大利润为2116万元．8．增长率(或降低率)问题类这类问题主要是指工农业生产中计算增长率、产值等方面的一类计算题．【例10】某工厂1988年生产某种产品2万件，计划从1989年开始，高考网％，问哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万元(已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)解设过x年后，产量超过12万件．则有2(1＋20％)x＞12解得x＞9.84答从1998年开始年产量可超过12万件．9．相关学科问题类这类问题是指涉及相关学科(如物理、化学等)知识的一类数学问题．【例11】在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，…，an，共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其它近似值比较，a与各数据差的平方和最小，依此规定，求从a1，a2，…，an推出的a值．解a应满足：y=(a－a1)2＋(a－a2)2＋…＋(a－an)2＝－＋＋…＋＋＋＋…＋na2(aaa)aaaa212n1222n2此式表示以a为自变量的二次函数，∵n＞0．∴当时，有最小值．此时a=2(a+a++a)2n=aya=a12n11aanaannn2210．决策问题类决策问题，是指根据已掌握的数据及有关信息，利用数学知识对某一事件进行分析、计算，从而作出正确决策的题．【例12】某厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A地10台，B地8台，已知从甲地调运一台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运一台至A地、B地的运费分别为300元和500元．(1)设从乙要调x台至A地，求总运费y关于x轴的函数关系式．(2)若总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？(3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费．解(1)y=300x＋500(6－x)＋400(10－x)＋800[12－(10－x)]=200(x＋43)(0≤x≤6，x∈N)(2)当x=0，1，2时，y≤9000，故共有三种方案，总运费不超过9000元．(3)在(1)中，当x＝0时，总运费最低，调运方案为：乙地6台全调B地，高考网地，10台至A地，这时，总运费y＝8600元．