北京市西城区2012届高三数学4月第一次模拟考试试题文高中数学练习试题

1北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题数学（文科）2012.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{|1}Axx，2{|4}Bxx，那么AB（）（A）(2,2)（B）(1,2)（C）(1,2)（D）(1,4)2．执行如图所示的程序框图，若输入3x，则输出y的值为（）（A）5（B）7（C）15（D）313．若2log3a，3log2b，41log3c，则下列结论正确的是（）（A）acb（B）cab（C）bca（D）cba4．如图，在复平面内，复数1z，2z对应的向量分别是OA，OB，则复数12zz对应的点位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限25．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）（A）243cm（B）223cm（C）28cm（D）24cm6．若实数x，y满足条件0,10,01,xyxyx则|3|xy的最大值为（）（A）6（B）5（C）4（D）37．设等比数列{}na的前n项和为nS．则“10a”是“32SS”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件8．已知集合230123{|222}Axxaaaa，其中{0,1}ka(0,1,2,3)k，且30a.则A中所有元素之和是（）（A）120（B）112（C）92（D）843第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.已知向量(1,2)a，(,2)b.若,90aba，则实数_____.10.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),，[1516),，[1617),，[1718],，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．11.函数22sin3cosyxx的最小正周期为_____．12.圆22430xyx的圆心到直线30xy的距离是_____.13.已知函数122,09,(),20.xxfxxxx则()fx的零点是_____；()fx的值域是_____．14.如图，已知抛物线2yx及两点11(0,)Ay和22(0,)Ay，其中120yy.过1A，2A分别作y轴的垂线，交抛物线于1B，2B两点，直线12BB与y轴交于点33(0,)Ay，此时就称1A，2A确定了3A.依此类推，可由2A，3A确定4A，.记(0,)nnAy，1,2,3,n.给出下列三个结论：①数列{}ny是递减数列；4②对*nN，0ny；③若14y，23y，则523y.其中，所有正确结论的序号是_____．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）在△ABC中，已知2sincossin()BAAC．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若2BC，△ABC的面积是3，求AB．16.（本小题满分13分）某校高一年级开设研究性学习课程，（1）班和（2）班报名参加的人数分别是18和27．现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从（2）班抽取了3名同学．（Ⅰ）求研究性学习小组的人数；（Ⅱ）规划在研究性学习的中、后期各安排1次交流活动，每次随机抽取小组中1名同学发言．求2次发言的学生恰好来自不同班级的概率．17．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD中，3AB，4BC．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF平面ECDF．5（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；（Ⅱ）若3EC，求证：FCND；（Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．18.（本小题满分14分）已知椭圆:C22221(0)xyabab的离心率为63，一个焦点为(22,0)F．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线5:2lykx交椭圆C于A，B两点，若点A，B都在以点(0,3)M为圆心的圆上，求k的值．19.（本小题满分13分）如图，抛物线29yx与x轴交于两点,AB，点,CD在抛物线上（点C在第一象限），CD∥AB．记||2CDx，梯形ABCD面积为S．（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式；（Ⅱ）若||||CDkAB，其中k为常数，且01k，求S的最大值．ABCDEF620.（本小题满分13分）对于数列123:,,(,1,2,3)iAaaaaiN，定义“T变换”：T将数列A变换成数列123:,,Bbbb，其中1||(1,2)iiibaai，且331||baa.这种“T变换”记作()BTA.继续对数列B进行“T变换”，得到数列123:,,Cccc，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）试问:2,6,4A经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）设123:,,Aaaa，()BTA．若:,2,()Bbaab，且B的各项之和为2012．（ⅰ）求a，b；（ⅱ）若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值，并说明理由．数学（文科）参考答案及评分标准2012.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.C；2.D；3.D；4.B；5.A；6.B；7.C；8.C.7二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.9；10.54；11.π；12.1；13.1和0，1[,3]4；14.①②③.注：13题第一问2分，第二问3分;14题少选1个序号给2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由πABC，得sin()sin(π)sinACBB．…………3分所以原式化为BABsincossin2．………4分因为(0,π)B，所以0sinB，所以21cosA．………6分因为(0,π)A，所以π3A．……7分（Ⅱ）解：由余弦定理，得222222cosBCABACABACAABACABAC．……9分因为2BC，1πsin323ABAC，所以228ABAC．……………11分因为4ABAC，所以2AB.……………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设从（1）班抽取的人数为m，依题意得27318m，所以2m，研究性学习小组的人数为35m．……5分（Ⅱ）设研究性学习小组中（1）班的2人为12,aa，（2）班的3人为123,,bbb．2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本事件为：11(,)aa，),(21aa，),(11ba，),(21ba，),(31ba，),(12aa，22(,)aa，),(12ba，),(22ba，),(32ba，8),(11ab，),(21ab，11(,)bb，),(21bb，),(31bb，),(12ab，),(22ab，21(,)bb，22(,)bb，),(32bb，),(13ab，),(23ab，31(,)bb，),(23bb，33(,)bb，共25种．…9分2次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：),(11ba，),(21ba，),(31ba，),(12ba，),(22ba，),(32ba，),(11ab，),(21ab，),(12ab，),(22ab，),(13ab，),(23ab，共12种．………12分所以2次发言的学生恰好来自不同班级的概率为1225P．……13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，所以MN∥EF∥CD，MNEFCD．所以四边形MNCD是平行四边形，……………2分所以NC∥MD，………………3分因为NC平面MFD，所以NC∥平面MFD．………………4分（Ⅱ）证明：连接ED，设EDFCO．因为平面MNEF平面ECDF，且EFNE，所以NE平面ECDF，……5分所以FCNE．…………6分又ECCD，所以四边形ECDF为正方形，所以FCED．………………7分所以FC平面NED，………………8分所以FCND．………………9分（Ⅲ）解：设xNE，则xEC4，其中04x．9由（Ⅰ）得NE平面FEC，所以四面体NFEC的体积为11(4)32NFECEFCVSNExx．………11分所以21(4)[]222NFECxxV．……………13分当且仅当xx4，即2x时，四面体NFEC的体积最大．………………14分18.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，则22c．………………1分由63cea，得23a，从而2224bac………………4分所以，椭圆C的方程为141222yx．……………5分（Ⅱ）解：设),(),,(2211yxByxA．将直线l的方程代入椭圆C的方程，消去y得224(13)60270kxkx．……………7分由22360016(13)270kk，得2316k，且1221513kxxk．…………9分设线段AB的中点为D，则21526Dkxk，255226DDykxk．……………10分由点A，B都在以点(0,3)为圆心的圆上，得1MDkk，…………11分即22532611526kkkk，解得229k，符合题意．…………13分所以23k．……………14分19.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，点C的横坐标为x，点C的纵坐标为29Cyx．……1分10点B的横坐标Bx满足方程290Bx，解得3Bx，舍去3Bx．……2分所以2211(||||)(223)(9)(3)(9)22CSCDAByxxxx．……4分由点C在第一象限，得03x．所以S关于x的函数式为2(3)(9)Sxx，03x．…………5分（Ⅱ）解：由03,,3xxk及01k，得03xk．……………6分记2()(3)(9),03fxxxxk，则2()3693(1)(3)fxxxxx．………………8分令()0fx，得1x．………………9分①若13k，即113k时，()fx与()fx的变化情况如下：x(0,1)1(1,3)k()fx0()fx↗极大值↘所以，当1x时，()fx取得最大值，且最大值为(1)32f．…………11分②若13k，即103k时，()0fx恒成立，所以，()fx的最大值为2(3)27(1)(1)fkkk．…………13分综上，113k时，S的最大值为32；103k时，S的最大值为227(1)(1)kk．20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列:2,6,4A不能结束，各数列依次为4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；…．以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形．………3分11（Ⅱ）解：（ⅰ）因为B的各项之和为2012，且ab，所以a为B的最大项，所以13||aa最大，即123aaa，或321aaa．…………5分当123aaa时，可得122313,2,.baaaaaaa由22012ab，得132()2012aa，即1006a，故1004b．…7分当321aaa时，同理可得1006a，1004b．………8分（ⅱ）方法一：由:B,2,2bb，则B经过6次“T变换”得到的数列分别为：2,,2bb；2,2,4bb