吉林省长春市朝鲜族中学20182019学年高二上期末质量检测理科数学试题解析版

吉林省长春市朝鲜族中学2018-2019学年高二上期末质量检测理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在等差数列{an}中，已知a4=3，a12=19，则公差d为()A.2B.1C.−2D.−1【答案】A【解析】解：∵在等差数列{an}中，a4=3，a12=19，∴公差d=19−312−4=168=2．故选：A．利用等差数列的通项公式直接求解．本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.在△ABC中，AB=AC=2，且∠B=π6，则边BC=()A.2B.4C.√3D.2√3【答案】D【解析】解：∵AB=AC=2，且∠B=π6，∴∠C=∠B=π6，∠A=2π3，∴由正弦定理ACsin∠B=BCsin∠A，可得：2sinπ6=BCsin2π3，可得：BC=2×√3212=2√3．故选：D．由已知利用等腰三角形的性质可求∠A=2π3，由正弦定理即可解得BC的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．3.在等比数列{an}中，已知公比q=2，前n项和为Sn，若S2=3，S3=7，则它的前5项之和S5为()A.62B.15C.31D.21【答案】C【解析】解：在等比数列{an}中，公比q=2，前n项和为Sn，S2=3，S3=7，∴{a1(1−22)1−2=3a1(1−23)1−2=7，解得a1=1，∴它的前5项之和S5=1×(1−25)1−2=31．故选：C．利用等比数列前n项和公式列方程组，求出a1=1，由此能求出它的前5项之和S5．本题考查年平均增长率的求法，考查年平均增长率的性质、计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=2√3,a=2，∠B=60∘，则∠A=()A.120∘B.60∘C.45∘D.30∘【答案】D【解析】解：在△ABC中，由正弦定理得asinA=bsinB，∴sinA=asinBb=2×√322√3=12．∵ab，∴AB，即A是锐角．∴A=30∘．故选：D．由已知及正弦定理可求得sinA的值，由ab，可知A是锐角，从而确定∠A的值．本题考查了正弦定理的应用，是基础题．5.已知椭圆x225+y216=1的两个焦点为F1，F2，过F1的直线与椭圆交于A，B两点，则△ABF2的周长为()A.20B.10C.16D.8【答案】A【解析】解：根据椭圆的定义：|AF1|+|AF2|=2a=10；|BF1|+|BF2|=2a=10；△ABF1的周长为：|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=4a=20．故选：A．利用椭圆的定义：椭圆上的点到两焦点的距离之和为2a；把三角形的周长转化成椭圆上的点到焦点的距离问题解决．本题考查了椭圆的定义，解题的关键是把三角形的周长问题转化成椭圆上的点到焦点的距离问题，利用椭圆的定义解决．6.已知双曲线C的中心在坐标原点，渐近线方程为y=±2x，且它的个焦点为(√5,0)，则双曲线C的实轴长为()A.1B.2C.4D.2√5【答案】B【解析】解：双曲线C的中心在坐标原点，渐近线方程为y=±2x，且它的一个焦点为(√5,0)，所以c=√5，ba=2，可得c2−a2a2=4，解得a=1，所以双曲线的实轴长为2．故选：B．一条渐近线方程是y=±2x，焦点为(√5,0)，转化求解双曲线的实轴长即可．本题给出焦点在x坐标轴上的双曲线满足的条件，求双曲线的标准方程.着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．7.下列命题中正确的是()A.若a，b∈R，则ba+ab≥2√ba⋅ab=2B.若x0，则x+1x2C.若x0，则x+4x≥−2√x⋅4x=−4D.若x∈R，则2x+2−x≥2√2x⋅2−x=2【答案】D【解析】解：A选项必须保证a，b，同号．B选项应取到等号，若x0，则x+1x≥2，C选项应该为≤，故选：D．由基本不等式成立的条件，正、定、等，可知答案选D．本题考查基本不等式的性质，属于简单题．8.在等差数列{an}中，已知a2+a5+a12+a15=36，则S16=()A.288B.144C.572D.72【答案】B【解析】解：a2+a5+a12+a15=2(a2+a15)=36，∴a1+a16=a2+a15=18，∴S16=16(a1+a16)2=8×18=144，故选：B．根据等差数列的性质和求和公式计算即可．本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题9.含2n+1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为()A.2n+1nB.n+1nC.n−1nD.n+12n【答案】B【解析】解：依题意，奇数项的和S奇数=a1+a3+⋯+a2n+1=(n+1)(a1+a2n+1)2=(n+1)×2an+12=(n+1)an+1，同理可得S偶数=nan+1；∴S奇数S偶数=n+1n．故选：B．利用等差数列的求和公式与等差数列的性质即可求得该题中奇数项的和与偶数项的和之比．本题考查等差数列的性质，着重考查等差数列的求和公式与等差数列的性质的综合应用，属于中档题．10.已知点M在抛物线x2=4y上，则点M到直线y=x−3的最小距离为()A.1B.2C.√2D.3【答案】C【解析】解：设与直线y=x−3平行的直线方程为：y=x−m，设切点坐标(s,t)，x2=4y可得：y′=12x，可得12s=1，可得s=2，则t=1，所以点M到直线y=x−3的最小距离为：|2−3−1|√2=√2．故选：C．设出直线的平行线方程，利用函数的导数，求解切点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．本题主要考查了抛物线的简单性质，两点距离公式的应用.解此类题设宜先画出图象，进而利用数形结合的思想解决问题．11.设a1，则关于x的不等式(1−a)(x−a)(x−1a)0的解集是()A.(−∞,a)∪(1a,+∞)B.(a,+∞)C.(a,1a)D.(−∞,1a)∪(a,+∞)【答案】D【解析】解：a1时，1−a0，且a1a，则关于x的不等式(1−a)(x−a)(x−1a)0可化为(x−a)(x−1a)0，解得x1a或xa，所以不等式的解集为(−∞,1a)∪(a,+∞)．故选：D．根据题意，把不等式化为(x−a)(x−1a)0，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．12.已知直线与抛物线y2=2px(p0)交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于D，点D的坐标为(2,1)，则p的值为()A.52B.23C.54D.32【答案】C【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∵直线OD斜率为12，OD⊥AB，∴直线AB斜率为−2，故直线AB方程为2x+y−5=0…(1)将(1)代入抛物线方程得y2+py−5p=0，则y1y2=−5p，∵y12=2px1，y22=2px2，则(y1y2)2=4p2x1x2，故x1x2=254，∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0，∵p0，∴p=54．故选：C．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由直线OD斜率为12，OD⊥AB，知直线AB方程为2x+y−5=0，代入抛物线方程得y2+py−5p=0，从而得到y1y2=−5p，再由OA⊥OB，能求出p．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x、y满足约束条件{0≤x≤10≤y≤22y−x≥1，且z=2y−2x+4，则z的最大值为______．【答案】8【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2y−2x+4得y=x+z2−2，平移直线y=x+z2−2，由图象可知当直线y=x+z2−2经过点A(0,2)时，直线y=x+z2−2的截距最大，此时z最大，zmax=2×2+4=8．即z的最大值是8，故答案为：8．作出不等式组对应的平面区域，由z=2y−2x+4得y=x+z2−2，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．14.命题：“若A∪B=A，则A∩B=B”的否命题是______．【答案】若A∪B≠A则A∩B≠B【解析】解：“若A∪B=A，则A∩B=B”的否命题：“若A∪B≠A则A∩B≠B”故答案为：若A∪B≠A则A∩B≠B．对所给命题的条件和结论分别否定，即：A∪B≠A和A∩B≠B，作为否命题的条件和结论．本题考查了否命题的定义，属于基础题．15.已知定点A(2,0)和定直线l：x=12，若动点M到A、l的距离之比为2，则点M的轨迹方程为______．【答案】x2−y23=1【解析】解：由题意动点M(x,y)到定点(2,0)的距离与它到定直线l：x=12的距离之比为2，得√(x−2)2+y2|x−12|=2，化简并整理，得x2−y23=1．∴动点M(x,y)的轨迹C的方程为：x2−y23=1；故答案为：x2−y23=1．利用动点M(x,y)到定点(2,0)的距离与它到定直线l：x=12的距离之比为2，列出方程化简并整理，即可得到动点M(x,y)的轨迹C的方程；本题考查轨迹方程的求法，训练了利用待定系数法求切线方程，属于中档题．16.一建筑物AB的底部B无法到达，为了测得此建筑物的高度，在地面C、D两处分别测得建筑物最高处A的仰角分别为α、β(αβ)，已知B、C、D三点共线，且C、D两处的距离为a米(不计测量工具的高度)，则建筑物的高度AB=______米.【答案】𝑎𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛽𝑡𝑎𝑛𝛼−𝑡𝑎𝑛𝛽【解析】解：依题意画出图形，如图所示；在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶=𝐴𝐵𝑡𝑎𝑛𝛼，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷中，𝐵𝐷=𝐴𝐵𝑡𝑎𝑛𝛽，∴𝐶𝐷=𝐵𝐷−𝐵𝐶=𝐴𝐵𝑡𝑎𝑛𝛽−𝐴𝐵𝑡𝑎𝑛𝛼=𝐴𝐵⋅𝑡𝑎𝑛𝛼−𝑡𝑎𝑛𝛽𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛽=𝑎，∴𝐴𝐵=𝑎𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛽𝑡𝑎𝑛𝛼−𝑡𝑎𝑛𝛽(米)．故答案为：𝑎𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛽𝑡𝑎𝑛𝛼−𝑡𝑎𝑛𝛽．依题意画出图形，利用直角三角形的边角关系，列方程求出AB的值．本题考查了解三角形的应用问题，是基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设等差数列{𝑎𝑛}(𝑛=1,2，3，4，…)的前n项和为𝑆𝑛，请利用倒序相加法，推导出等差数列前n项和公式．【答案】解：𝑆𝑛=𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎𝑛−1+𝑎𝑛，①∴𝑆𝑛=𝑎𝑛+𝑎𝑛−1+⋯+𝑎2+𝑎1，②由①②可得2𝑆𝑛=(𝑎1+𝑎𝑛)+(𝑎2+𝑎𝑛−1)+⋯+(𝑎𝑛+𝑎1)=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)，∴𝑆𝑛=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2．【解析】根据倒序相加法推到即可．本题考查了倒序相加法，考查了运算求解能力，属于基础题．18.已知△𝐴𝐵𝐶的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，𝑎𝑐𝑜𝑠(𝐴+𝐶)+𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴=0．(1)试判断△𝐴𝐵𝐶的形状，并说明理由；(2)若△𝐴𝐵𝐶的周长为5，且𝑐𝑜𝑠𝐶=78，求c的值．【答案】解：(1)∵𝑎𝑐𝑜𝑠(𝐴+𝐶)+𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴=0，∴𝑎𝑐𝑜𝑠(𝜋−𝐵)+𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴=0，可得：𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴−𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵=0，∴由余弦定理可得：𝑏⋅𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐−𝑎⋅𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐=0，可得：𝑎=𝑏．∴△𝐴𝐵𝐶的形状为等腰三角形．(2)∵𝑎=𝑏，△𝐴𝐵𝐶的周长为𝑎+𝑏+𝑐=5，可得：𝑏=5−𝑐2=𝑎，∴由余弦定理可得：𝑐𝑜𝑠𝐶=78=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏=2×(5−𝑐2)2−𝑐22×(5−𝑐2)2，整理可得：3𝑐2+2𝑐