嘉定区2009学年度第二学期高二期末数学试卷附答案

嘉定区2009学年度第二学期高二年级期末考试数学试卷考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题纸上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3．本试卷共21道试题，满分100分，考试时间90分钟．一、填空题（每小题3分，满分36分）1．若复数z满足21iz，则z________________．2．直线023yx与012x的夹角为__________________．3．已知23)1()2321(iiz，则z=________________．4．双曲线19722yx的焦距为__________________________．5．椭圆12222mxmy的两个焦点坐标分别为____________________．6．若点8,2M在抛物线pxy22的准线上，则实数p的值为__________________．7．已知)0,2(A、)0,2(B，且ABC的周长等于10，则顶点C的轨迹方程为__________________________．8．已知复数z满足1z，则iz2的取值范围为_________________．9．设1F、2F是双曲线127922yx的两个焦点，A是双曲线上的一点，若81AF,则2AF_____________________．10．以抛物线xy162的顶点为中心，焦点为右焦点，且分别以1,3p、1,3q为两条渐近线的法向量的双曲线方程为_____________________．11．已知点P是双曲线13422yx上一点，1F、2F是此双曲线的焦点，若6021PFF，则21PFF的面积为_________________．12．若椭圆1252222mymx上至少存在一点P，使得它与两焦点连线互相垂直，则正实数m的取值范围为____________.二、选择题（每小题3分，满分12分）13．使复数z为实数的充分而不必要条件为…………………………………………………（）(A)2z为实数(B)zz为实数(C)zz(D)zz14．以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点2,1M的抛物线的方程为…………（）(A)xy42或yx212(B)yx2或xy2(C)xy42或yx212(D)yx42或xy21215．已知点1F、2F是椭圆192522yx的两个焦点，P是椭圆上的任意一点，则21PFPF的最大值为………………………………………………………………（）(A)9(B)225(C)25(D)1616．已知点F是双曲线1222yx的一个焦点，过点F作直线l交双曲线于两点P、Q，若4PQ，则这样的直线l有且仅有………………………………………………………………（）(A)四条(B)三条(C)两条(D)一条三、解答题（本大题共有5题，满分52分）17．（本题满分8分）已知圆11:221yxO，圆91:222yxO,动圆M分别与圆1O相外切，与圆2O相内切.求动圆圆心M所在的曲线的方程.xOy··1O2O第17题图18．（本题满分10分，第（1）题5分，第（2）题5分.）已知复数1z满足izi71431，iaz22，Ra.（1）若1212zzz，求a的取值范围；（2）若21zz是方程)(022Rppxx的一个根，求a与p的值.19．（本题满分10分，第（1）题5分，第（2）题5分．）已知z为虚数，且5z，若zz22为实数.（1）求复数z；（2）若z的虚部为正数，且izsin4（i为虚数单位，R），求的模的取值范围.20．（本题满分10分，第（1）题5分，第（2）题5分.）已知抛物线xy42截直线bxy2所得的弦长为5AB.（1）求实数b的值；（2）试在x轴上求一点P，使得APB的面积为59.21．（本题满分14分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题4分.）已知经过点)2,0(P且以ad,1为一个方向向量的直线l与双曲线1322yx相交于不同两点A、B.（1）求实数a的取值范围；（2）若点A、B均在已知双曲线的右支上，且满足0OBOA，求实数a的值；（3）是否存在这样的实数a，使得A、B两点关于直线821xy对称？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.第21题图xOyxOy第20题图2009学年度第二学期高二年级期末考试数学试卷参考答案与评分意见一．填空题（每小题3分，满分36分）1．i1；2．6；3．21；4．8；5.2,0、2,0；6．4；7．)0(15922yyx；8.3,1；9.14；10.112422yx；11.33；12．]25,5(.二、选择题13．D14．A15．C16．B三、解答题17．解:设yxM,，动圆M的半径为)0(rr，则由题意知rMOrMO3,121，于是421MOMO，即动点M到两个定点0,10,121OO、的距离之和为4.……3分又因为242121OOMOMO,所以点M在以两定点0,10,121OO、为焦点，4为长轴长的椭圆上.设此椭圆的标准方程为)0(12222babyax，这里1,2ca，………………………………………………6分则3222cab.因此动圆圆心M所在的曲线方程为13422yx.………………………………………8分注：1.若限制2x，也可以；2.若设),(yxM，由421MOMO得4)1()1(2222yxyx，整理并化简得13422yx，也可以.18．解:（1）因为iiz43711，所以)43()43()43()71(1iiiiz，即iz11.……1分于是412121221aiaiaizz，21z，……3分又1212zzz，则22412a，解得31a.因此所求的a的取值范围为)3,1(.…………………………………………………5分（2）由（1）知iz11，则iazz2121.所以ia21（Ra）是方程)(022Rppxx的一个根，则04)2(2p，且ia21（Ra）也是此方程的一个根.………………8分于是.2121,22121,04)2(2piaiaiaiap解得.5,2pa因此2a，5p.…………………………………………………………………………10分19．解：（1）设biaz（a、Rb且0b，i为虚数单位）.由5z得522ba（*）…………………………………………1分又因为zz22为实数，即)(2)(2biabia为实数，即iababa)1(2222为实数，所以0)1(ab，………………………………………………………………………………2分又0b，所以1a.将1a代入（*）解得2b.…………………………4分于是iz21或iz21.………………………………………………………………5分（2）若z的虚部为正数，则由（1）知，iz21，所以iisin421，即isin421，……………………………………………………………………6分所以22)sin42()1(，即121sin162，设)11(sintt，则1)21(162t，它在21,1t上单调递减，在1,21t上单调递增.所以当21t，即21sin，即)(6)1(Zkkk时，1min；………8分又当1t，即1sin，即)(22Zkk时，5，当1t，即1sin，即)(22Zkk时，37，所以37max.因此所求的模的取值范围为]37,1[.………………………………………………10分20．解：（1）设),(11yxA、),(21yxB.联立方程组bxyxy242,消去y，整理并化简得0)44(422bxbx.则③②①41016)44(2212122bxxbxxbb…………………………………………2分因为221221)()(yyxxAB，即221221)22()(bxbxxxAB，即221)(5xxAB，即212214)(5xxxxAB④将②、③代入④得22)1(5bbAB，即bAB215，……………3分令5215b解得2b.…………………………………………………4分当2b时，上述不等式①成立.因此所求实数b的值为2.………………………………………………………………………5分(2)由（1）知AB所在的直线方程为022yx.设当点P的坐标为)(0,Raa时，APB的面积为59.此时点P到直线AB的距离为22)1(222ad，即522ad.………………………………7分于是APB的面积为S5155|22|21aa，………………………………8分令5951a，解得10a或8.所以所求的点P的坐标为0,10或0,8.……………………………………………………10分21．解:（1）由已知，直线l的方程为2axy.由13222yxaxy消去y，并整理得054)3(22axxa.①……2分依题意得0032a解得1515a且3a且3a.②因此所求的实数a的取值范围为15,33,33,15.……………4分（2）设),(11yxA，),(22yxB.因为点A、B均在已知双曲线的右支上，所以（1）中方程①具有两个不同的正实数根21xx、，即0021xx、，于是.035.034,0)3(20)4(22122122axxaaxxaa解得313a.……………………7分又0OBOA，即0),(),(2211yxyx，即02121yyxx，而4)(2)2)(2(212122121xxaxxaaxaxyy，所以04)(22121221xxaxxaxx，即04)(2)1(21212xxaxxa，则0434235)1(222aaaaa，解得7a.……………………9分又因为313a，所以7a.因此所求实数a的值为7.……………………………………………………10分（3）假设存在实数a，使A、B两点关于直线821xy对称，则直线2axy与821xy相互垂直.因为直线1axy与821xy的一个法向量分别为为1,a、2,1，由题意，向量1,a、2,1也相互垂直，即有1,a02,1，即02a，解得2a.(注：由直线2axy与821xy相互垂直得121a，解得2a.这样做也行.)……………………………11分所以直线l的方程为22xy.联立方程组.13,2222yxxy消去y，并整理得0582xx.………………12分这里04420)8(2，且5,82121xxxx，所以4221xx，则622222121xxyy.设线段AB的中点为M，则)6,4(M.………………………………………………13分由于AB中点)6,4