四川省20172018学年广安市高一下学期期末考试数学试题文

四川省广安市2017-2018学年高一下学期期末考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.cos20∘cos40∘−sin20∘sin40∘的值等于()A.14B.√32C.12D.√34【答案】C【解析】解：cos20∘cos40∘−sin20∘sin40∘=cos(20∘+40∘)=cos60∘=12．故选：C．院士利用两角和与差的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．2.已知x，y满足不等式组{3𝑥−𝑦−6≤0𝑥−𝑦+2≥0𝑥≥0,𝑦≥0，则𝑧=𝑥+𝑦的最大值为()A.8B.10C.12D.14【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分)．由𝑧=𝑥+𝑦得𝑦=−𝑥+𝑧，平移直线𝑦=−𝑥+𝑧，由图象可知当直线𝑦=−𝑥+𝑧经过点A时，直线𝑦=−𝑥+𝑧的截距最大，此时z最大．由{𝑥−𝑦+2=03𝑥−𝑦−6=0，解得{𝑦=6𝑥=4，即𝐴(4,6)，代入目标函数𝑧=𝑥+𝑦得𝑧=4+6=10．即目标函数𝑧=𝑥+𝑦的最大值为10．故选：B．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．3.已知tan𝛼=1，则sin𝛼+2cos𝛼sin𝛼=()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：由tan𝛼=1，得sin𝛼+2cos𝛼sin𝛼=tan𝛼+2tan𝛼=1+21=3．故选：C．由已知直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．4.若𝑙1、𝑙2是两条不同直线，𝛼、𝛽是两个不同平面，则正确结论为()A.若𝑙1//𝑙2，𝑙1//𝛼，则𝑙2//𝛼B.若𝛼//𝛽，𝑙1//𝛼，则𝑙1//𝛽C.若𝑙1⊥𝛼，𝑙1⊥𝛽，则𝛼⊥𝛽D.若𝑙1⊥𝛼，𝑙2⊥𝛼，则𝑙1//𝑙2【答案】D【解析】解：由𝑙1、𝑙2是两条不同直线，𝛼、𝛽是两个不同平面，知：在A中，若𝑙1//𝑙2，𝑙1//𝛼，则𝑙2//𝛼或𝑙2⊂𝛼，故A错误；在B中，若𝛼//𝛽，𝑙1//𝛼，则𝑙1//𝛽或𝑙1⊂𝛽，故B错误；在C中，若𝑙1⊥𝛼，𝑙1⊥𝛽，则由面面平行的判定定理得𝛼//𝛽，故C错误；在D中，若𝑙1⊥𝛼，𝑙2⊥𝛼，则由线面垂直的判定定理得𝑙1//𝑙2，故D正确．故选：D．在A中，𝑙2//𝛼或𝑙2⊂𝛼；在B中，𝑙1//𝛽或𝑙1⊂𝛽；在C中，由面面平行的判定定理得𝛼//𝛽；在D中，由线面垂直的判定定理得𝑙1//𝑙2．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．5.若关于x的方程𝑥2−3𝑥+𝑎2+𝑎=0的一根大于1，另一根小于1，则实数a的取值范围()A.(−2,1)B.(−∞,−2)∪(1,+∞)C.(−∞,−2)∪(0,1)D.(−2,0)∪(1,+∞)【答案】A【解析】解：∵关于x的方程𝑥2−3𝑥+𝑎2+𝑎=0的一根大于1，另一根小于1，令𝑓(𝑥)=𝑥2−3𝑥+𝑎2+𝑎，则𝑓(1)=1−3+𝑎2+𝑎=𝑎2+𝑎−20，求得−2𝑎1，故选：A．利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得a的取值范围．本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．6.在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=𝜋2，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=3.将△𝐴𝐵𝐶绕BC所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的侧面积为()A.16𝜋B.36𝜋C.20𝜋D.56𝜋【答案】C【解析】解：如图所示，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=𝜋2，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=3；将△𝐴𝐵𝐶绕BC所在的直线旋转一周，围成几何体是圆锥，则该圆锥的侧面积为𝑆侧=𝜋𝑟𝑙=𝜋×4×5=20𝜋．故选：C．根据题意画出图形，结合图形求出将△𝐴𝐵𝐶绕BC所在的直线旋转一周所围成几何体的侧面积．本题考查了旋转体的侧面积计算问题，是基础题．7.在等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎2=3，若从第7项起开始为负，则数列{𝑎𝑛}的公差d的取值范围是()A.[−34,−35)B.[−34,+∞)C.(−∞,−35)D.(35,34]【答案】A【解析】解：{𝑎7=𝑎2+5𝑑=3+5𝑑0𝑎6=𝑎2+4𝑑=3+4𝑑≥0，解得−34≤𝑑−35．故选：A．根据等差数列的性质，解方程组{𝑎7=𝑎2+5𝑑=3+5𝑑0𝑎6=𝑎2+4𝑑=3+4𝑑≥0，能够得到公差d的取值范围．本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A.48B.36C.24D.16【答案】D【解析】解：由已知中的该几何体是一个四棱锥的几何体，四棱锥的底面为边长为4和3的长方形，高为4，故𝑉四棱锥=13×4×3×4=16．故选：D．由已知中的三视图，判断该几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个以4和3为边长的长方形，棱柱的高为4，分别求出棱柱和棱锥的体积，进而可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何体的形状，并找出棱长、高等关键的数据是解答本题的关键．9.已知等比数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，若𝑆3=4，𝑆6=6，则𝑆9=()A.9B.8C.7D.1【答案】C【解析】解：设等比数列{𝑎𝑛}的公比为q，显然𝑞≠1，由求和公式可得𝑆3=𝑎1(1−𝑞3)1−𝑞=4①，𝑆6=𝑎1(1−𝑞6)1−𝑞=6②，② ①可得1−𝑞61−𝑞3=1+𝑞3=64=32，解得𝑞3=12，代入①可得𝑎11−𝑞=8，∴𝑆9=𝑎11−𝑞(1−𝑞9)=8×(1−18)=7，故选：C．求和公式结合已知式子可得关于𝑎11−𝑞和𝑞3的方程，解方程代入𝑆9即可本题考查等比数列的求和公式，整体求解是解决问题的关键，属中档题．10.如图，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，E、F、G、H分别为𝐴𝐴1、AB、𝐵𝐵1、𝐵𝐶1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘【答案】C【解析】解：设正方体𝐴𝐶1的棱长为2，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系𝐷−𝑥𝑦𝑧，由题意知𝐸(2,0，1)，𝐹(2,1，0)，𝐺(2,2，1)，𝐻(1,2，2)，∴𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,−1)，𝐺𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,0，1)，设异面直线EF与GH所成的角为𝜃，cos𝜃=|cos𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,𝐺𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|−12|=12，∴𝜃=60∘．故选：C．建立空间直角坐标系𝐷−𝑥𝑦𝑧，利用向量法能求出异面直线EF与GH所成的角的大小．本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要注意向量法的合理运用．11.已知等差数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，𝑆3=6，𝑆5=15.设数列{1𝑎𝑛𝑎𝑛+1}的前n项和为𝑇𝑛，若𝑇𝑛=2021，则𝑛=()A.19B.20C.21D.22【答案】B【解析】解：等差数列{𝑎𝑛}的公差设为d，前n项和为𝑆𝑛，𝑆3=6，𝑆5=15，可得3𝑎1+3𝑑=6，5𝑎1+10𝑑=15，解得𝑎1=𝑑=1，即𝑎𝑛=1+𝑛−1=𝑛，1𝑎𝑛𝑎𝑛+1=1𝑛(𝑛+1)=1𝑛−1𝑛+1，前n项和为𝑇𝑛=1−12+12−13+⋯+1𝑛−1𝑛+1=1−1𝑛+1，由𝑇𝑛=2021，可得𝑛=20，故选：B．等差数列{𝑎𝑛}的公差设为d，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项、公差，求得1𝑎𝑛𝑎𝑛+1=1𝑛(𝑛+1)=1𝑛−1𝑛+1，由裂项相消求和可得前n项和𝑇𝑛，解方程可得n的值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．12.在平面四边形ABCD中，𝐴𝐵=√2，𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐷𝐴=1，设△𝐴𝐵𝐷、△𝐵𝐶𝐷的面积分别为𝑆1、𝑆2，则当𝑆12+𝑆22取最大值时，𝐵𝐷=()A.√102B.√3C.√2D.1【答案】A【解析】解：在△𝐴𝐵𝐷中，𝐵𝐷2=𝐴𝐷2+𝐴𝐵2−2×𝐴𝐷×𝐴𝐵×cos𝐴=1+2−2×1×√2×cos𝐴=3−2√2cos𝐴．在△𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐷2=𝐶𝐷2+𝐶𝐵2−2𝐶𝐷⋅𝐶𝐵cos𝐶=2−2cos𝐶，∴cos𝐶=√2cos𝐴−12．𝑆12+𝑆22=14𝐴𝐵2⋅𝐴𝐷2⋅sin2𝐴+14𝐶𝐵2⋅𝐶𝐷2⋅sin2𝐶=12sin2𝐴+14sin2𝐶=−(cos𝐴−√28)2+58，∴当cos𝐴=√28时，𝑆12+𝑆22取取最大值，此时，𝐵𝐷=√𝐴𝐵2+𝐴𝐷2−2×𝐴𝐵×𝐴𝐷×cos𝐴=√102．故选：A．利用余弦定理推出A与C的关系，求出𝑆12+𝑆22的表达式，利用二次函数以及余弦函数的值的范围，能求出当𝑆12+𝑆22取最大值时，BD的值．本题考查余弦定理的应用，三角形的面积的求法，二次函数的性质的应用，考查计算能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数𝑓(𝑥)=𝑥+6𝑥，𝑥0的最小值为______【答案】2√6【解析】解：∵𝑥0，∴𝑓(𝑥)=𝑥+6𝑥≥2√𝑥⋅6𝑥=2√6．当且仅当𝑥=6𝑥，即𝑥=√6时取等号．故答案为：2√6．结合基本不等式的结论可得答案．本题考查基本不等式，属基础题．14.数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，若𝑆𝑛=2𝑎𝑛−1，则𝑎𝑛=______．【答案】2𝑛−1【解析】解：∵𝑆𝑛=2𝑎𝑛−1①，∴𝑆𝑛−1=2𝑎𝑛−1−1②(𝑛1)，①−②得：𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=2𝑎𝑛−2𝑎𝑛−1，即𝑎𝑛=2𝑎𝑛−2𝑎𝑛−1，整理得：𝑎𝑛=2𝑎𝑛−1，即𝑎𝑛𝑎𝑛−1=2，∵𝑆1=𝑎1=2𝑎1−1，即𝑎1=1，∴数列{𝑎𝑛}为首项是1，公比是2的等比数列，则𝑎𝑛=2𝑛−1．故答案为：2𝑛−1根据已知等式确定出𝑆𝑛−1=2𝑎𝑛−1−1(𝑛1)，已知等式与所得等式相减，利用数列的递推式得到数列{𝑎𝑛}为首项是1，公比是2的等比数列，利用等比数列性质确定出通项公式即可．此题考查了数列的递推式，等比数列的性质，解题的关键是由递推公式推导数列的通项公式．15.tan23∘+tan22∘+tan23∘tan22∘=______．【答案】1【解析】解：∵23∘+22∘=45∘，tan45∘=1，∴tan(23∘+23∘)=tan23∘+tan22∘1−tan23∘tan22∘=1，去分母整理，得tan23∘+tan23∘=1−tan23∘tan22∘，∴原式=1−tan23∘tan22∘+tan23∘tan22∘=1．故答案为：1．根据23∘+22∘=45∘利用两角和的正切公式列式，化简整理得到tan23∘+tan22∘=1−tan23∘tan22∘，再代入原式即可算出所求的值．本题求关于正切的式子的值，考查了特殊角的三角函数值、两角和的正切公式及其应用等知识，属于基础题