山西省太原市20182019学年高二上学期期末考试数学文试题解析版

山西省太原市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.双曲线𝑥23−𝑦24=1的实轴长为()A.2B.4C.√3D.2√3【答案】D【解析】解：根据题意，双曲线𝑥23−𝑦24=1，其中𝑎=√3，𝑏=2，其焦点在x轴上，则该双曲线与x轴的交点为(√3,0)与(−√3,0)，则实轴长2𝑎=2√3；故选：D．根据题意，由双曲线的方程求出a的值，即可得双曲线与x轴的交点，由实轴的定义计算可得答案．本题考查双曲线的标准方程以及双曲线实轴的定义，属于基础题．2.命题：“∀𝑥∈𝑅，3𝑥0”的否定是()A.∀𝑥∈𝑅，3𝑥≤0B.∀𝑥∈𝑅，3𝑥0C.∃𝑥∈𝑅，3𝑥≤0D.∃𝑥∈𝑅，3𝑥0【答案】C【解析】解：提问全称命题的否定是特称命题，所以命题：“∀𝑥∈𝑅，3𝑥0”的否定是∃𝑥∈𝑅，3𝑥≤0．故选：C．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．3.曲线𝑦=𝑒𝑥+𝑥在𝑥=0处的切线的斜率等于()A.eB.𝑒+1C.1D.2【答案】D【解析】解：函数的导数为𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥+1，则在𝑥=0处的导数𝑓′(0)=𝑒0+1=1+1=2，即切线斜率𝑘=𝑓′(0)=2，故选：D．求的导数，结合函数导数的几何意义求出对应的导数即可．本题主要考查导数的几何意义，求出函数的导数是解决本题的关键．4.设𝑥∈𝑅，则“𝑙𝑥2”是“𝑙𝑥3”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：若𝑙𝑥2，则𝑙𝑥3，反之，若𝑙𝑥3，则不一定有𝑙𝑥2，如𝑥=2.5．∴𝑥∈𝑅，则“𝑙𝑥2”是“𝑙𝑥3”的充分而不必要条件．故选：A．由𝑙𝑥2，可得𝑙𝑥3，反之不成立，则答案可求．本题考查充分条件、必要条件的判定方法，是基础题．5.抛物线𝑥2=4𝑦的焦点到准线的距离为()A.12B.1C.2D.4【答案】C【解析】解：抛物线𝑥2=4𝑦的焦点到准线的距离为：𝑃=2．故选：C．直接利用抛物线方程求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．6.对任意实数𝜃，则方程𝑥2+𝑦2sin𝜃=4所表示的曲线不可能是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆【答案】C【解析】解：由题意，sin𝜃∈[−1,1]∴sin𝜃=1时，方程表示圆；sin𝜃=0时，方程表示两条直线；sin𝜃∈[−1,0)时，方程表示双曲线；sin𝜃∈(0,1)，方程表示椭圆．即方程𝑥2+𝑦2sin𝜃=4不表示抛物线故选：C．根据sin𝜃的范围，可判断方程可表示圆，直线，双曲线，椭圆，故可得结论．本题以方程为载体，考查方程与曲线的关系，解题的关键是根据sin𝜃的范围，进行分类讨论，属于中档题．7.函数𝑦=𝑥3−3𝑥的单调递减区间是()A.(−∞,0)B.(0,+∞)C.(−∞,−1)，(1,+∞)D.(−1,1)【答案】D【解析】解：令𝑦′=3𝑥2−30解得−1𝑥1，∴函数𝑦=𝑥3−3𝑥的单调递减区间是(−1,1)．故选：D．求导，令导数小于零，解此不等式即可求得函数𝑦=𝑥3−3𝑥的单调递减区间．此题是个基础题.考查学生利用导数研究函数的单调性．8.已知命题“∃𝑥0∈[−1,1]，−𝑥02+3𝑥0+𝑎0”为真命题，则实数a的取值范围是()A.(−94,+∞)B.(4,+∞)C.(−2,4)D.(−2,+∞)【答案】D【解析】解：命题“∃𝑥0∈[−1,1]，−𝑥02+3𝑥0+𝑎0”为真命题等价于𝑎𝑥2−3𝑥在𝑥∈[−1,1]上有解，令𝑓(𝑥)=𝑥2−3𝑥，𝑥∈[−1,1]，则等价于𝑎𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑓(1)=−2，∴𝑎−2，故选：D．命题“∃𝑥0∈[−1,1]，−𝑥02+3𝑥0+𝑎0”为真命题等价于𝑎𝑥2−3𝑥在𝑥∈[−1,1]上有解，构造函数𝑓(𝑥)=𝑥2−3𝑥求最大值代入极即可．本题考查了存在量词和特称命题，属中档题．9.函数𝑓(𝑥)=12𝑥2−ln𝑥的图象大致是()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：函数的定义域为(0,+∞)，函数的导数𝑓′(𝑥)=𝑥−1𝑥=𝑥2−1𝑥，由𝑓′(𝑥)0得𝑥2−10得𝑥1或𝑥−1(舍)，此时函数为增函数，由𝑓′(𝑥)0得𝑥2−10得−1𝑥1，此时0𝑥1，函数为减函数，即当𝑥=1时，函数𝑓(𝑥)取得极小值，且极小值为𝑓(1)=12−ln1=120，则对应的图象为A，故选：A．求函数的导数，研究函数的单调性和极值，进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数单调性和导数之间的关系，研究函数的单调性是解决本题的关键．10.若函数𝑓(𝑥)=𝑘𝑥−ln𝑥在区间(2,+∞)单调递增，则k的取值范围是()A.(−∞,−2]B.[12,+∞)C.[2,+∞)D.(−∞,12]【答案】B【解析】解：𝑓′(𝑥)=𝑘−1𝑥，∵函数𝑓(𝑥)=𝑘𝑥−ln𝑥在区间(2,+∞)单调递增，∴𝑓′(𝑥)≥0在区间(2,+∞)上恒成立．∴𝑘≥1𝑥，而𝑦=1𝑥在区间(2,+∞)上单调递减，∴𝑘≥12．∴𝑘的取值范围是：[12,+∞)．故选：B．求出导函数𝑓′(𝑥)，由于函数𝑓(𝑥)=𝑘𝑥−ln𝑥在区间(2,+∞)单调递增，可得𝑓′(𝑥)≥0在区间(2,+∞)上恒成立.解出即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．11.已知双曲线C与椭圆E：𝑥29+𝑦225=1有共同的焦点，它们的离心率之和为145，则双曲线C的标准方程为()A.𝑥212−𝑦24=1B.𝑥24−𝑦212=1C.𝑦24−𝑥212=1D.𝑦212−𝑥24=1【答案】C【解析】解：由椭圆𝑥29+𝑦225=1，得𝑎2=25，𝑏2=9，则𝑐2=𝑎2−𝑏2=16，∴双曲线与椭圆的焦点坐标为𝐹1(0,−4)，𝐹2(0,4)，∴椭圆的离心率为45，则双曲线的离心率为145−45=2．设双曲线的实半轴长为m，则4𝑚=2，得𝑚=2，则虚半轴长𝑛=√42−22=2√3，∴双曲线的方程是𝑦24−𝑥212=1．故选：C．由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案．本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题．12.函数𝑓(𝑥)的定义域为R，𝑓(1)=6对任意𝑥∈𝑅，𝑓′(𝑥)2，则𝑓(1𝑛𝑥)2ln𝑥+4的解集为()A.(0,𝑒)B.(𝑒,+∞)C.(0,1)D.(1,+∞)【答案】B【解析】解：设𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−2𝑥−4，则𝑔′(𝑥)=𝑓′(𝑥)−2，∵对任意𝑥∈𝑅，𝑓′(𝑥)2，∴对任意𝑥∈𝑅，𝑔′(𝑥)0，即函数𝑔(𝑥)单调递增，∵𝑓(1)=6，∴𝑔(1)=𝑓(1)−2−4=0，∵函数𝑔(𝑥)单调递增，∴由𝑔(𝑥)𝑔(1)=0得𝑥1，∴ln𝑥1，∴𝑥𝑒即𝑓(1𝑛𝑥)2ln𝑥+4的解集为(𝑒,+∞)，故选：B．构造函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−2𝑥−4，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.椭圆𝑥225+𝑦216=1的焦距是______【答案】6【解析】解：根据题意，椭圆𝑥225+𝑦216=1中，𝑎=5，𝑏=4，则𝑐=√𝑎2−𝑏2=3，则该椭圆的焦距2𝑐=6；故答案为：6．根据题意，由椭圆的标准方程分析a、b的值，结合椭圆的几何性质求出c的值，由椭圆焦距的定义分析可得答案．本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质，注意求出c的值，属于基础题．14.命题“如果𝑥+𝑦3，那么𝑥1且𝑦2”的逆否命题是______．【答案】如果𝑥≤1或𝑦≤2，那么𝑥+𝑦≤3【解析】解：命题的逆否命题为：如果𝑥≤1或𝑦≤2，那么𝑥+𝑦≤3，故答案为：如果𝑥≤1或𝑦≤2，那么𝑥+𝑦≤3根据逆否命题的定义进行期求解即可．本题主要考查四种命题之间的关系，根据逆否命题的定义是解决本题的关键.若p则q的逆否命题为若￢𝑞则￢𝑝．15.曲线𝑦=2ln𝑥在点(1,0)处的切线方程为______．【答案】𝑦=2𝑥−2【解析】解：∵𝑦=2ln𝑥，∴𝑦′=2𝑥，当𝑥=1时，𝑦′=2∴曲线𝑦=2ln𝑥在点(1,0)处的切线方程为𝑦=2𝑥−2．故答案为：𝑦=2𝑥−2．欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在𝑥=1的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决．本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力.属于基础题．16.已知双曲线E：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的右顶点为A，抛物线C：𝑦2=8𝑎𝑥的焦点为𝐹.若在E的渐近线上存在点P，使得𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗⃗，则双曲线E的离心率的取值范围是______．【答案】(1,3√24]【解析】解：双曲线E：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的右顶点为𝐴(𝑎,0)，抛物线C：𝑦2=8𝑎𝑥的焦点为𝐹(2𝑎,0)，双曲线的渐近线方程为𝑦=±𝑏𝑎𝑥，可设𝑃(𝑚,𝑏𝑎𝑚)，即有𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑚−𝑎,𝑏𝑎𝑚)，𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑚−2𝑎,𝑏𝑎𝑚)，可得𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=0，即为(𝑚−𝑎)(𝑚−2𝑎)+𝑏2𝑎2𝑚2=0，化为(1+𝑏2𝑎2)𝑚2−3𝑚𝑎+2𝑎2=0，由题意可得△=9𝑎2−4(1+𝑏2𝑎2)⋅2𝑎2≥0，即有𝑎2≥8𝑏2=8(𝑐2−𝑎2)，即8𝑐2≤9𝑎2，则𝑒=𝑐𝑎≤3√24．由𝑒1，可得1𝑒≤3√24．故答案为：(1,3√24].求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设𝑃(𝑚,𝑏𝑎𝑚)，以及向量的垂直的条件：数量积为0，再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围．本题考查双曲线的离心率的范围，考查抛物线的焦点和向量的数量积的性质，注意运用二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共76.0分）17.已知命题p：曲线𝑦=𝑥2+(2𝑚−3)𝑥−1与x轴相交于不同的两点；命题q：椭圆𝑥2𝑚2+1+𝑦22=1的焦点在y轴上．(1)判断命题p的否定的真假；(2)若“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，求实数m的取值范围．【答案】解：(1)由△=(2𝑚−3)2+40，可得曲线𝑦=𝑥2+(2𝑚−3)𝑥−1与x轴相交于不同的两点，即命题p为真命题，即命题p的否定为假命题；(2)由“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，则命题p，q一真一假，又由(1)得命题p为真命题，则命题q为假命题，即𝑚2+1≥2，解得𝑚≤−1或𝑚≥1，故答案为：(−∞,−1]∪[1,+∞)．【解析】(1)由函数的零点个数的判断：△=(2𝑚−3)2+40，即命题p为真命题，即命题p的否定为假命题，(2)由椭圆的性质及充分必要条件得“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，则命题p，