山西省芮城县芮城中学运城中学20182019学年高二上学期期末考试数学理试题解析版

2018-2019学年山西省运城中学、芮城中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在一次数学测试中，成绩在区间[125,150]上成为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p是“甲测试成绩优秀”，q是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”可表示为()A.(￢𝑝)∨(￢𝑞)B.𝑝∨(￢𝑞)C.(￢𝑝)∧(￢𝑞)D.𝑝∨𝑞【答案】A【解析】解：由题意值￢𝑝是“甲测试成绩不优秀”，￢𝑞是“乙测试成绩不优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”，则用(￢𝑝)∨(￢𝑞)表示，故选：A．求出￢𝑝，￢𝑞，结合或且非的意义进行求解即可．本题主要考查逻辑连接词的应用，结合复合命题之间的关系是解决本题的关键．2.抛物线𝑦=−3𝑥2的焦点坐标是()A.(34,0)B.(−34,0)C.(0,−112)D.(0,112)【答案】C【解析】解：∵在抛物线𝑦=--3𝑥2，即𝑥2=−13𝑦，∴𝑝=16，𝑝2=112，∴焦点坐标是(0,−112)，故选：C．先把抛物线的方程化为标准形式，再求出抛物线𝑦=−3𝑥2的焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，比较基础．3.2𝑥2−5𝑥−30的一个必要不充分条件是()A.−12𝑥3B.−12𝑥0C.−3𝑥12D.−1𝑥6【答案】D【解析】解：2𝑥2−5𝑥−30的充要条件为−12𝑥3对于A是2𝑥2−5𝑥−30的充要条件对于B，是2𝑥2−5𝑥−30的充分不必要条件对于C，2𝑥2−5𝑥−30的不充分不必要条件对于D，是2𝑥2−5𝑥−30的一个必要不充分条件故选：D．通过解二次不等式求出2𝑥2−5𝑥−30的充要条件，通过对四个选项的范围与充要条件的范围间的包含关系的判断，得到2𝑥2−5𝑥−30的一个必要不充分条件．解决一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，再进行判断，判断时常有的方法有：定义法、集合法．4.已知双曲线C：𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的离心率为√52，则C的渐近线方程为()A.𝑦=±14𝑥B.𝑦=±13𝑥C.𝑦=±12𝑥D.𝑦=±2𝑥【答案】D【解析】解：由题意可得𝑒=𝑐𝑎=√52，即为𝑐2=54𝑎2，由𝑐2=𝑎2+𝑏2，可得𝑏2=14𝑎2，即𝑎=2𝑏，双曲线的渐近线方程为𝑦=±𝑎𝑏𝑥，即为𝑦=±2𝑥．故选：D．运用双曲线的离心率公式可得𝑐2=54𝑎2，由a，b，c的关系和双曲线的渐近线方程，计算即可得到所求方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和双曲线的方程，考查运算能力，属于基础题．5.四面体OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，P是MN的三等分点(靠近𝑁)，若𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎⃗⃗，𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑐⃗，则𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=()A.13𝑎⃗⃗+16𝑏⃗+16𝑐⃗B.16𝑎⃗⃗+13𝑏⃗+13𝑐⃗C.12𝑎⃗⃗+16𝑏⃗+13𝑐⃗D.16𝑎⃗⃗+12𝑏⃗+13𝑐⃗【答案】B【解析】解：根据题意得，𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+23𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+23(𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=12𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+13(𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−13𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=16𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+13𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗故选：B．运用平面向量基本定理可解决此问题．本题考查平面向量基本定理的简单应用．6.点𝑃(2,3)到直线𝑎𝑥+𝑦−2𝑎=0的距离为d，则d的最大值为()A.3B.4C.5D.7【答案】A【解析】解：直线𝑎𝑥+𝑦−2𝑎=0即𝑎(𝑥−2)+𝑦=0，令{𝑦=0𝑥−2=0，解得𝑥=2，𝑦=0．可得直线经过定点𝑄(2,0)．则当𝑃𝑄⊥𝑙时，d取得最大值|𝑃𝑄|．|𝑃𝑄|=√(2−2)2+32=3．故选：A．直线𝑎𝑥+𝑦−2𝑎=0即𝑎(𝑥−2)+𝑦=0，令{𝑦=0𝑥−2=0，解得直线经过定点𝑄.则当𝑃𝑄⊥𝑙时，d取得最大值|𝑃𝑄|．本题考查了直线经过定点、相互垂直的直线，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.如图：在直棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐴1=𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，P，Q，M分别是𝐴1𝐵1，BC，𝐶𝐶1的中点，则直线PQ与AM所成的角是()A.𝜋6B.𝜋4C.𝜋3D.𝜋2【答案】D【解析】解：以A为坐标原点，分别以AB，AC，𝐴𝐴1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设𝐴𝐴1=𝐴𝐵=𝐴𝐶=2，则𝐴(0,0，0)，𝑀(0,2，1)，𝑃(1,0，2)，𝑄(1,1，0)．𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,−2)，𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,1)．∴cos𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2−2√5×√5=0．∴直线PQ与AM所成的角是𝜋2．故选：D．以A为坐标原点，分别以AB，AC，𝐴𝐴1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设𝐴𝐴1=𝐴𝐵=𝐴𝐶=2，分别求出𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗与𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标，利用空间向量求解．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是基础题．8.《九章算术.商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体是一个“堑堵”，𝐴𝐵=𝐵𝐶=4，𝐴𝐴1=5，M是𝐴1𝐶1的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为()A.40B.25+15√2+3√29C.50D.30+20√2+3√29【答案】B【解析】解：几何体是一个“堑堵”，𝐴𝐵=𝐵𝐶=4，𝐴𝐴1=5，M是𝐴1𝐶1的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，取𝐴1𝐵1的中点N，连结MN，BN，∵𝐴1𝑀=12𝐴𝐶=12√16+16=2√2，𝐵𝑁=√22+52=√29，∴三棱台𝐴1𝑀𝑁−𝐴𝐵𝐶的表面积为：𝑆=𝑆△𝐴1𝑀𝑁+𝑆△𝐴𝐵𝐶+𝑆梯形𝐴1𝑀𝐶𝐴+𝑆梯形𝑀𝑁𝐵𝐶+𝑆梯形𝐴1𝑁𝐵𝐴=12×2×2+12×4×4+12(2√2+4√2)×5+12(2+4)×√29+12(2+4)×5=25+15√2+3√29．故选：B．取𝐴1𝐵1的中点N，连结MN，BN，则三棱台𝐴1𝑀𝑁−𝐴𝐵𝐶的表面积为𝑆=𝑆△𝐴1𝑀𝑁+𝑆△𝐴𝐵𝐶+𝑆梯形𝐴1𝑀𝐶𝐴+𝑆梯形𝑀𝑁𝐵𝐶+𝑆梯形𝐴1𝑁𝐵𝐴．本题考查三棱台的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9.直线l过椭圆𝑥22+𝑦2=1的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点，若△𝐹𝑀𝑂是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为()A.±√33B.±√22C.±1D.±√3【答案】B【解析】解：由𝑥22+𝑦2=1，得𝑎2=2，𝑏2=1，∴𝑐2=𝑎2−𝑏2=2−1=1．则𝑐=1，则左焦点𝐹(−1,0)．由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，则直线l的方程为𝑦=𝑘𝑥+𝑘．设l与椭圆相交于𝑃(𝑥1,𝑦1)、𝑄(𝑥2,𝑦2)，联立{𝑥22+𝑦2=1𝑦=𝑘𝑥+𝑘，得：(2𝑘2+1)𝑥2+4𝑘2𝑥+2𝑘2−2=0．则PQ的中点M的横坐标为𝑥1+𝑥22=−2𝑘21+2𝑘2．∵△𝐹𝑀𝑂是以OF为底边的等腰三角形，∴−2𝑘22𝑘2+1=−12，解得：𝑘=±√22．故选：B．由椭圆方程求得椭圆的焦点坐标，设出直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系结合中点坐标公式求出M的坐标，由−2𝑘22𝑘2+1=−12，求得直线l的斜率．本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，是中档题．10.已知抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)的焦点为F，准线为l，直线m过点F，且与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，过A点作l的垂线，垂足为，若，则|𝐵𝐹|=()A.𝑃3B.𝑃2C.2𝑃3D.P【答案】C【解析】解：抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)的焦点为𝐹(𝑝2,0)，准线为l：𝑥=−𝑝2，当直线m的斜率不存在时，|𝐴𝐴′|=𝑝，不满足题意；当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为𝑦=𝑘(𝑥−𝑝2)，与抛物线联立，得{𝑦=𝑘(𝑥−𝑝2)𝑦2=2𝑝𝑥，消去y整理得𝑘2𝑥2−(𝑘2𝑝+2𝑝)𝑥+𝑘2𝑝24=0，∴𝑥1𝑥2=𝑝24，又|𝐴𝐴′|=2𝑝，∴𝑥𝐴=32𝑝，∴𝑥𝐵=𝑝24×23𝑝=𝑝6，∴|𝐵𝐹|=𝑥𝐵−(−𝑝2)=𝑝6+𝑝2=2𝑝3．故选：C．讨论直线m的斜率不存在时，不满足题意；直线m的斜率存在时，设直线m的方程为𝑦=𝑘(𝑥−𝑝2)，与抛物线联立消去y得𝑥1𝑥2的值；利用|𝐴𝐴′|求出𝑥𝐴的值，再求𝑥𝐵的值，从而求得|𝐵𝐹|的值．本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是中档题．11.已知椭圆C的两个焦点分别是𝐹1(−1,0)，𝐹2(1,0)，短轴的两个端点分别为M，N，左右顶点分别为𝐴1，𝐴2，若△𝐹1𝑀𝑁为等腰直角三角形，点T在椭圆C上，且𝑇𝐴2斜率的取值范围是[18,14]，那么𝑇𝐴1斜率的取值范围是()A.[1,2]B.[−12,−14]C.[−4,−2]D.[−2,−1]【答案】C【解析】解：设椭圆方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)．由△𝐹1𝑀𝑁为等腰直角三角形，且𝐹1(−1,0)，得{𝑎2−𝑏2=1𝑏=1，解得𝑎=√2，𝑏=1．则椭圆C的方程为𝑥22+𝑦2=1．则𝐴1(−√2,0)，𝐴2(√2,0)．设𝑇(𝑥0,𝑦0)(𝑥0≠±√2)，则𝑥022+𝑦02=1，得𝑦02𝑥02−2=−12，∵𝑘𝑇𝐴2=𝑦0𝑥0−√2，𝑘𝑇𝐴1=𝑦0𝑥0+√2，∴𝑘𝑇𝐴2⋅𝑘𝑇𝐴1=𝑦02𝑥02−2=−12，又18≤𝑘𝑇𝐴2≤14，∴18≤−12𝑘𝑇𝐴1≤14，解得：−4≤𝑘𝑇𝐴1≤−2．∴𝑇𝐴1斜率的取值范围是[−4,−2]．故选：C．由已知求得椭圆方程，分别求出𝐴1，𝐴2的坐标，再由斜率之间的关系列式求解．本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力及推理运算能力，是中档题．12.如图：已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2(𝑎0,𝑏0)中，𝐴1，𝐴2为左右顶点，F为右焦点，B为虚轴的上端点，若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点𝑃𝑖(𝑖=1,2)，使得△𝑃𝑖𝐴1𝐴2(𝑖=1,2)构成以𝐴1𝐴2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是()A.(√2,1+√52)B.(1,√2)C.(√2,+∞)D.(1+√52,+∞)【答案】A【解析】解：由题意，𝐹(𝑐,0)，𝐵(0,𝑏)，则直线BF的方程为𝑏𝑥+𝑐𝑦−𝑏𝑐=0，∵在线段BF上(不含端点)存在不同的两点𝑃𝑖(𝑖=1,2)，使得△𝑃𝑖𝐴1𝐴