广东省20182019学年汕头市潮阳区高一上期末数学试卷

广东省汕头市潮阳区20182019学年高一（上）期末数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合𝐴={𝑥|𝑦=ln(−𝑥2+2𝑥+3}，集合𝐵={𝑥|3𝑥13}，则∁𝐵𝐴=()A.[3,+∞)B.(3,+∞)C.(−∞,−1)∪[3，+∞)D.(−∞,−1)∪(3,+∞)【答案】A【解析】解：𝐴={𝑥|−1𝑥3}𝐵={𝑥|𝑥−1}；∴∁𝐵𝐴=[3,+∞)．故选：A．可解出集合A，B，然后进行补集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的概念，对数函数的定义域，以及指数函数的单调性，补集的运算．2.在平面直角坐标系中，已知角𝛼始边与x轴非负半轴重合，顶点与原点重合，且𝛼终边上有一点P坐标为(−2,3)，则2sin𝛼+cos𝛼=()A.√1313B.−√1313C.4√1313D.1【答案】C【解析】解：已知角𝛼始边与x轴非负半轴重合，顶点与原点重合，且𝛼终边上有一点P坐标为(−2,3)，则sin𝛼=3√4+9=3√1313，cos𝛼=−2√4+9=−2√1313，2sin𝛼+cos𝛼=6√1313−2√1313=4√1313，故选：C．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得2sin𝛼+cos𝛼．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.设𝑎=log132，𝑏=log23，𝑐=(12)0.3，则()A.𝑎𝑏𝑐B.𝑎𝑐𝑏C.𝑏𝑐𝑎D.𝑏𝑎𝑐【答案】B【解析】解：由对数函数的图象和性质可得𝑎=log132log131=0，𝑏=log23log22=1由指数函数的图象和性质可得0𝑐=(12)0.3(12)0=1∴𝑎𝑐𝑏故选：B．根据对数函数的图象和性质可得𝑎0，𝑏1，根据指数函数的图象和性质可得0𝑐1，从而可得a、b、c的大小关系．本题主要考查指对数函数的图象和性质在比较大小中的应用，一般来讲，考查函数的单调性，以及图象的分布，属中档题．4.若𝑓(5𝑥)=2𝑥+log4𝑥，则𝑓(25)=()A.2B.92C.8+log43D.17【答案】B【解析】解：∵𝑓(5𝑥)=2𝑥+log4𝑥，∴𝑓(25)=𝑓(52)=22+log42=4+12=92．故选：B．由𝑓(5𝑥)=2𝑥+log4𝑥，𝑓(25)=𝑓(52)，能求出结果．本题考查函数值的求法，考查实数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.若向量𝑎⃗⃗，𝑏⃗满足|𝑎⃗⃗|=|𝑏⃗|，当𝑎⃗⃗，𝑏⃗不共线时，𝑎⃗⃗+𝑏⃗与𝑎⃗⃗−𝑏⃗的关系是()A.相等B.平行C.垂直D.相交但不垂直【答案】C【解析】解：∵|𝑎⃗⃗|=|𝑏⃗|；∴(𝑎⃗⃗+𝑏⃗)⋅(𝑎⃗⃗−𝑏⃗)=𝑎⃗⃗2−𝑏⃗2=0；又𝑎⃗⃗,𝑏⃗不共线；∴𝑎⃗⃗+𝑏⃗和𝑎⃗⃗−𝑏⃗都是非零向量；∴(𝑎⃗⃗+𝑏⃗)⊥(𝑎⃗⃗−𝑏⃗)．故选：C．根据|𝑎⃗⃗|=|𝑏⃗|即可得出(𝑎⃗⃗+𝑏⃗)⋅(𝑎⃗⃗−𝑏⃗)=0，而根据题意可判断𝑎⃗⃗+𝑏⃗和𝑎⃗⃗−𝑏⃗都是非零向量，从而得出(𝑎⃗⃗+𝑏⃗)⊥(𝑎⃗⃗−𝑏⃗)．考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的运算，平面向量基本定理．6.下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是()A.𝑦=2𝑥B.𝑦=2|𝑥|C.𝑦=2𝑥−2−𝑥D.𝑦=2𝑥+2−𝑥【答案】C【解析】解：A虽增却非奇非偶，B、D是偶函数，C由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数(或0)'/，故选：C．根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．7.已知D，E分别是△𝐴𝐵𝐶的边BC，AC上的中点，AD、BE交于点F，则𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=()A.13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗B.23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗C.13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗D.23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗【答案】A【解析】解：∵𝐷，E为中点，∴𝐹为重心，∴𝐴𝐹=23𝐴𝐷，∴𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23×12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，故选：A．利用重心定理得到𝐴𝐹=23𝐴𝐷，再结合四边形法则转化𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗为12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)即可得解．此题考查了向量加法法则，重心定理等，难度不大．8.函数𝑦=sin2𝑥1−cos𝑥的部分图象大致为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：函数𝑦=sin2𝑥1−cos𝑥，可知函数是奇函数，排除选项B，当𝑥=𝜋3时，𝑓(𝜋3)=√321−12=√3，排除A，𝑥=𝜋时，𝑓(𝜋)=0，排除D．故选：C．判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．本题考查函数的图形的判断，三角函数化简，函数的奇偶性以及函数的特殊点是判断函数的图象的常用方法．9.设𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑏𝑥+𝑐满足𝑓(0)=3，且对任意𝑥∈𝑅，有𝑓(𝑥)=𝑓(2−𝑥)，则()A.𝑓(𝑏𝑥)≤𝑓(𝑐𝑥)B.𝑓(𝑏𝑥)𝑓(𝑐𝑥)C.𝑓(𝑏𝑥)≥𝑓(𝑐𝑥)D.𝑓(𝑏𝑥)与𝑓(𝑐𝑥)不可比较【答案】A【解析】解：∵𝑓(0)=3，∴𝑐=3，∵𝑓(𝑥)=𝑓(2−𝑥)，∴𝑏2=1，即𝑏=2．∴当𝑥0时，03𝑥2𝑥1，∵𝑓(𝑥)在(0,1)上单调递减，∴𝑓(2𝑥)𝑓(3𝑥).当𝑥0时，3𝑥2𝑥1，∵𝑓(𝑥)在(1,+∞)上单调递增，∴𝑓(2𝑥)𝑓(3𝑥).当𝑥=0时，3𝑥=2𝑥=1，∴𝑓(2𝑥)=𝑓(3𝑥).综上，𝑓(𝑏𝑥)≤𝑓(𝑐𝑥).故选：A．由𝑓(0)=3得出𝑐=3，由𝑓(𝑥)=𝑓(2−𝑥)可知对称轴为𝑥=1，可求出𝑏=2，从而得出𝑏𝑥和𝑐𝑥的大小关系，结合𝑓(𝑥)的单调性得出结论．本题考查了二次函数与指数函数的性质，比较2𝑥和3𝑥的大小关系和范围是关键．10.在直角三角形ABC中，𝐶=𝜋2，|𝐴𝐶|=3，对于平面ABC内的任一点M，平面ABC内总有一点D使得3𝑀𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=()A.1B.2C.4D.6【答案】D【解析】解：对于平面ABC内的任一点，平面ABC内总有一点D使得3𝑀𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗，即对于平面ABC内的任一点M，平面ABC内总有一点D使得𝑀𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗所以D为线段AB上的点且𝐵𝐷=2𝐴𝐷所以𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(13𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗)⋅𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=23|𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|2=23×9=6故选：D．3𝑀𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⇒𝑀𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⇒所以D为线段AB上的点且𝐵𝐷=2𝐴𝐷，再将𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗转化为𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗后代入相乘即可．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．11.已知将函数𝑦=cos(2𝑥+𝜋3)的图象向右平移m个单位长度(𝑚0)可得𝑦=sin2𝑥的图象，则正实数m的最小值为()A.7𝜋6B.5𝜋6C.7𝜋12D.5𝜋12【答案】D【解析】解：将函数𝑦=cos(2𝑥+𝜋3)的图象至少向右平移5𝜋12个单位长度(𝑚0)可得𝑦=sin2𝑥=cos(2𝑥−𝜋2)的图象，则正实数m的最小值为5𝜋12，故选：D．利用函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，诱导公式，得出结论．本题主要考查函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，诱导公式，属于基础题．12.在R上定义运算：𝑥⊗𝑦=𝑥(1−𝑦)，若∃𝑥∈𝑅使得(𝑥−𝑎)⊗(𝑥+𝑎)1成立，则实数a的取值范围是()A.(−∞,−12)∪(32,+∞)B.(−12,32)C.(−32,12)D.(−∞,−32)∪(12,+∞)【答案】A【解析】解：由题知(𝑥−𝑎)⊗(𝑥+𝑎)=(𝑥−𝑎)[1−(𝑥+𝑎)]=−𝑥2+𝑥+𝑎2−𝑎=−(𝑥−12)2+𝑎2−𝑎+14．∴∃𝑥∈𝑅，使得不等式(𝑥−𝑎)⊗(𝑥+𝑎)1成立，转化为函数𝑦=−(𝑥−12)2+𝑎2−𝑎+14的最大值大于1，即𝑓(12)=𝑎2−𝑎+141成立，解之可得𝑎−12或𝑎32．故选：A．先利用定义把(𝑥−𝑎)⊗(𝑥+𝑎)整理成−(𝑥−12)2+𝑎2−𝑎+14，结合题中不等式解集不是空集，可得函数𝑦=−(𝑥−12)2+𝑎2−𝑎+14的最大值大于1，由二次函数的性质得：𝑓(12)=𝑎2−𝑎+141成立，解之可得𝑎−12或𝑎32．本题考查了在新定义下对函数恒成立问题的应用.关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知tan𝛼=2，则sin𝛼−cos𝛼sin𝑎+cos𝛼的值为______．【答案】13【解析】解：∵tan𝛼=2，∴sin𝛼−cos𝛼sin𝑎+cos𝛼=tan𝛼−1tan𝛼+1=2−12+1=13，故答案为：13．将所求关系式“切”化“弦”，将tan𝛼=2代入计算即可．本题考查同角三角函数基本关系的运用，“切”化“弦”是关键，属于基础题．14.已知𝑓(𝑥)={−log2(𝑥+1),𝑥12𝑥−1−2,𝑥≤1，且𝑓(𝑎)=−3，则𝑎=______．【答案】7【解析】解：∵𝑓(𝑥)={−log2(𝑥+1),𝑥12𝑥−1−2,𝑥≤1，且𝑓(𝑎)=−3，∴当𝑎≤1时，𝑓(𝑎)=2𝑎−1−2=−3，无解；当𝑎1时，𝑓(𝑎)=−log2(𝑥+1)=−3，解得𝑎=7．综上，𝑎=7．故答案为：7．当𝑎≤1时，𝑓(𝑎)=2𝑎−1−2=−3；当𝑎1时，𝑓(𝑎)=−log2(𝑥+1)=−3.由此能求出a．本题考查实数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗2=16，|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|，则|𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=______．【答案】2【解析】解：∵|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|∴以AB、AC为邻边作平行四边形，可得对角线AD与BC长度相等因此，四边形ABDC为矩形∵𝑀是线段BC的中点，∴𝐴𝑀是𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶斜边BC上的中线，可得|𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|∵𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗2=16，得|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2=16，即|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=4∴|𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=2故答案为：2根据向量加法的平行四边形形法则和减法的三角形法则，可得以AB、AC为邻边的平行四边形ABDC为矩形，可得AM是𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶斜边BC上的中线，可得|𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|，结