广东省开平二中2014届高三数学上学期期中试题理新人教A版高中数学练习试题

1开平二中2014届高三年级期中考试题数学（理科）本试卷共2页，共21小题，满分150分．考试用时120分钟．参考公式：锥体的体积公式ShV31，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数a1i（i为虚数单位），则||a等于（）A．2B．1C．22D．122．已知集合}4,3,2,1,0{A，集合},2|{AnnxxB，则BA（）A．}0{B．}4,0{C．}4,2{D．}4,2,0{3．已知函数2030xxxfxxlog,,,则)]41([ff的值是（）A．9B．19C．9D．194．设向量(2,0)a,(1,1)b,则下列结论中正确的是A．||||abB．21baC．//abD．()abb5.已知,ab是实数，则“0a且0b”是“0ab且0ab”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6、如果执行右面的程序框图，那么输出的S（）Ａ．2450Ｂ．2500Ｃ．2550Ｄ．26527．已知等差数列}{na的前n项和为nS，若34512aaa，则7S的值为（）A．56B．42C．28D．14开始K=10S50?k≤？是2SSk1kk否输出S结束2图3PCBAO8．在R上定义运算).1(:yxyx若对任意2x，不等式2xaxa都成立，则实数a的取值范围是（）A.17,B.3,C.7,D.17,,二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9、不等式21x3的解集为10.命题“0,2xRx”的否定是。11、△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知2,3ab，60C则c=.12.61(2)2xx的展开式的常数项是（结果用数值作答）13、若x,y满足约束条件30030xyxyx，则yxz2的最大值为．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题）如图3，已知AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点，PCOP，PC交⊙O于C，若4AP，2PB，则PC的长是15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知圆C的参数方程为2xycos,sin,(为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为1sincos,则直线l截圆C所得的弦长是.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、（本小题满分12分）已知函数2fxxx()sinsin.3MDCBAP（1）求)4(f的值；（2）求函数)(xf的最小正周期；（3）若243f()，求)42(f的值。17、（本小题满分12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（Ⅱ）求中奖人数X的分布列及数学期望EX.18、（本小题满14分）如图4，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，2PAAD，1AB,BMPD于点M．（1）求四棱锥PABCD的体积；(2)求证：AMPD；(3)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值.419、（本小题满分14分）已知数列}{na的前n项和为nS，12,11nnaSa，（1）求数列}{na的通项公式；（2）若数列nnnab求数列}{nb的前n项和nT.20、（本小题满分14分）已知椭圆222:133xyEaa的离心率12e.直线xt（0t）与曲线E交于不同的两点,MN,以线段MN为直径作圆C,圆心为C．(1)求椭圆E的方程；(2)若圆C与y轴相交于不同的两点,AB，求ABC的面积的最大值.21、（本小题满分14分）已知函数)(xf=3231()2axxxR，其中a0.（Ⅰ）若a=1，求曲线)(xfy在点))2(,2(f处的切线方程；（Ⅱ）若在区间11,22上，0)(xf恒成立，求a的取值范围。52014届高三数学期中考试参考答案（理科）题号12345678答案ADBDCCCC9、}21|{xx10．0,2xRx11．712.2013.914.2215.216．（本小题满分12分）解：（1）222224sin)42sin()4(f……………2分（2）2fxxx()sinsinxxcossin……………3分22222xxsincos24xsin.……………5分周期22wT……………6分（3）解：由（1）可知)4sin(2)(xxf，∴2243f()sin，得13sin.……………8分∴)42(f222sin……………9分22cos……………10分2212sin……………11分729.……………12分17．（本小题满分12分）解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么6zyxMDCBAPP(A)=P(B)=P(C)=16P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=15252()66216答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为25216……………………………………6分（2）x的可能值为0,1,2,3P(ξ=k)=3315()()66kkkC(k=0,1,2,3)所以中奖人数ξ的分布列为x0123P12521625725721216Ex=0×125216+1×2572+2×572+3×1216=12………………………………………………12分18.（本小题满分l4分）(本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角等知识,考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)（1）四棱锥PABCD的体积34122313131ADABPAshVABCDP……2分(2)∵PA平面ABCD，AB平面ABCD,∴PAAB.∵ABAD，,ADPAAAD平面PAD,PA平面PAD,∴AB平面PAD.∵PD平面PAD∴ABPD，……5分∵BMPD,ABBMB,AB平面ABM,BM平面ABM,∴PD平面ABM.∵AM平面ABM,∴AMPD.……7分7（2）解法1：由（1）知，AMPD，又PAAD，则M是PD的中点,在Rt△PAD中,得2AM，在Rt△CDM中,得223MCMDDC,∴1622ACMSAMMC.设点D到平面ACM的距离为h，由DACMMACDVV，……8分得111332ACMACDShSPA.解得63h，……10分设直线CD与平面ACM所成的角为，则6sin3hCD，……12分∴3cos3.∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为33.……14分解法2：如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则0,0,0A，0,0,2P，1,0,0B，1,2,0C，0,2,0D，0,1,1M.∴1,2,0,0,1,1,1,0,0ACAMCD.……8分设平面ACM的一个法向量为(,,)nxyz，由,nACnAM可得：20,0.xyyz令1z，得2,1xy.∴(2,1,1)n.……10分设直线CD与平面ACM所成的角为，则6sin3CDnCDn.……12分8∴3cos3.∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为33.……14分19．（本小题满分14分）(本小题主要考查数列、数列求和等知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：12,11nnaSa，∴1211nnaS………1分∴)12()12(11nnnnaaSS.∴122nnnaaa……………3分12nnaa∴21nnaa………………1分}{na是公比为2首项为1的等比数列1112nnnqaa.………8分（2）解：∵nnnab，∴1211122322nnTn.①………9分21231222322nnTn.②……………10分①②得2112222nnnTn……………11分12212nnn……………12分121nn.……………13分∴121nnTn.……………14分20．（本小题满分14分）(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识,考查数形结合、化归与转化、函9数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵椭圆222:133xyEaa的离心率12e,∴2312aa.……2分解得2a.∴椭圆E的方程为22143xy．……4分（2）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)Ctt．由22,1,43xtxy得221234ty.∴圆C的半径为21232tr．……6分∵圆C与y轴相交于不同的两点,AB，且圆心C到y轴的距离dt，∴212302tt，即22107t．∴弦长22222123||221274tABrdtt．……8分∴ABC的面积211272Stt……9分21712727tt2271271227tt377.……12分当且仅当27127tt，即427t时，等号成立.10∴ABC的面积的最大值为377．……14分解法2：依题意，圆心为(,0)(02)Ctt．由22,1,43xtxy得221234ty.∴圆C的半径为21232tr．……6分∴圆C的方程为222123()4txty．∵圆C与y轴相交于不同的两点,AB，且圆心C到y轴的距离dt，∴212302tt，即22107t．在圆C的方程222123()4txty中，令0x，得21272ty，∴弦长2||127ABt．……8分∴ABC的面积211272Stt……9分21712727tt2271271227tt377.……12分当且仅当27127tt，即427t时，等号成立.∴ABC的面积的最大值为377．…14分1121、【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=323xx12，f（2）=3；f’(x)=233xx,f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（Ⅱ）解：f’(x)=2333(1)axxxax.令f’(x)=0，解得x=0或x=1a.以下分两种情况讨论：若110a2a2，则，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：X102，0120，f’(x)+0-f(x)极大值当11xfx22，时，（）0等价于5a10,()0,8215a()0,0.28ff即解不等式组得-5a5.因此0a2.若a2，则110a2.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：X102，01a0，1a1