数列高考冲刺押题

数列高考冲刺押题【押题2】已知数列{an}满足an=2an-1-2n+5(n∈N+且n≥2)，a1=1.（I）若bn=an-2n+1，求证：数列{bn}(n∈N+)是常数列，并求{an}的通项；（II）若Sn是数列{an}的前n项和，又cn=(-1)nSn，且{cn}的前n项和Tntn2在n∈N+时恒成立，求实数t的取值范围.【押题指数】★★★★★【解析】(1)由an=2an-1-2n+5知：an-2n+1=2[an-1-2(n-1)+1]，而a1=1于是由bn=an-2n+1，可知：bn=2bn-1，且b1=0从而bn=0，故数列{bn}是常数列于是an=2n-1.5分（II）Sn是{an}前n项和，则Sn=1+3+5+……+(2n-1)=n2，cn=(-1)nn2当n为奇数时，即n=2k-1，Tn=T2k-1=-12+22-32+42+……+(2k-2)2-(2k-1)2=-k(2k-1)=-2)1(nn当n为偶数时，Tn=T2k=T2k-1+(2k)2=2)1(nn.∴Tn=nnn)1)(1(21.由Tntn2恒成立，则需nnn)1)(1(21tn2恒成立.只需n为奇数时恒成立.∴2)1(21tnnn(n=1，3，5，7，……)，∴nnt121(n=1，3，5，7，……)恒成立.而1)11(21n，∴1t，故所需t的范围为(-∞，-1).【押题3】已知函数2()(2),'()fxxfx是函数()fx的导函数，设11()3,.'()nnnnfaaaafa（I）证明：数列{2}na是等比数列，并求出数列{}na的通项公式；（II）令,{}nnnbnab求数列的前n项和.nS【押题指数】★★★★★[来源:Z。xx。k.Com]【解析】(Ⅰ)()2(2)fxx，由1()()nnnnfaaafa可得21(2)112(2)2nnnnnaaaaa---2分11112(1)21(2)222nnnnaaaa--4分所以数列2na是以121a为首项，公比为12的等比数列111112(2)()()22nnnaa所以有11()22nna------6分（Ⅱ）由题意122nnnnbnan则0121123()2(123)2222nnnSn----7分20121123()2222nnnn-9分令01211232222nnnT①①×12得：123112322222nnnT②①②得：1211111111212(1)12222222212nnnnnnnnnnT即11224(1)4222nnnnnnT--12分所以221242nnnnSTnnnn--13分【押题4】已知正项数列{},{}nnab满足：对任意正整数n，都有1,,nnnaba成等差数列，11,,nnnbab成等比数列，且1210,15.aa（Ⅰ）求证：数列{}nb是等差数列；（Ⅱ）求数列{},{}nnab的通项公式；(Ⅲ)设12111,nnSaaa如果对任意正整数n，不等式22nnnbaSa恒成立，求实数a的取值范围．【押题指数】★★★★★时，()fn的对称轴为3(2)02(1)axa，()fn关于n递减，因此，只需(1)4150.fa解得15,1.4aa综上，1.a【押题5】数列na中，0na，1na，且1231nnnaaa（Nn）．（I）证明：1nnaa；（II）若431a，计算2a，3a，4a的值，并求出数列na的通项公式；（III）若aa1，求实数p（0p），使得数列nnaap成等比数列．【押题指数】★★★★★【解析】（I）若1nnaa，即nnnaaa123，得0na或1na与题设矛盾，1nnaa（II）1092a，28273a，82814a解法一：用数学归纳法，先猜想133nnna，再用数学归纳法证明．解法二：，由32)1(3111nnaa，得)11(31111nnaa，数列}11{na是首项为31111a，公比为31的等比数列，nna)31(11，得133nnna[来源:学&科&网Z&X&X&K]（III）设数列nnaap成等比数列，公比为q，则qappapaapaapnnnnnn)(3)32(11，即ppqaqpn3)332(由0p，na不是常数列，0)13(0332qpqp，311qp，此时，nnaap是公比为31的等比数列…[来源:学科网ZXXK]【押题6】已知等比数列na的前n项和为23(R,N)nnSkkn（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）设数列nb满足4(5)nnabnak，nT为数列nb的前n项和，试比较316nT与14(1)nnb的大小，并证明你的结论．【押题指数】★★★★★【解析】（Ⅰ）由23(R,N)nnSkkn得:2n时，1143nnnnaSSna是等比数列，1164aSk2k，得143(N)nnan（Ⅱ）由4(5)nnabnak和143nna得1143nnnb12312212321221(1)43434343123213(2)443434343nnnnnnnnnnTbbbbbnnT2321111111(2)(1):244343434343nnnnnT232111111113218838383838316163nnnnnnnT11(1)21(1)3(21)4(1)(316)333nnnnnnnnnnnnbT2(1)3(21)53nnnnn当5372n或53702n时有(1)3(21)nnn，所以当5n(N)n时有13164(1)nnTnb那么同理可得：当53753722n时有(1)3(21)nnn，所以当15n(N)n时有13164(1)nnTnb综上：当5n(N)n时有13164(1)nnTnb；当15n(N)n时有13164(1)nnTnb【押题7】设等比数列na的首项为12a，公比为(qq为正整数），且满足33a是18a与5a的等差中项；数列nb满足2*32()0(,)2nnntbnbtRnN。（I）求数列na的通项公式；（II）试确定实数t的值，使得数列nb为等差数列；（III）当数列nb为等差数列时，对每个正整数k，在ka和1ka之间插入kb个2，得到一个新数列nc。设nT是数列nc的前n项和，试求满足12mmTc的所有正整数m。[来源:学_科_网Z_X_X_K]【押题指数】★★★★★【解析】（I）由题意31568aaa，则2468qq，解得24q或22q因为q为正整数，所以2q，又12a，所以*2()nnanN-（II）当1n时，1132()0,2tbb得124bt，同理：2n时，得2164bt；3n时，得3122bt，则由1322bbb，得3t。而当3t时，232(3)02nnnbnb，得2nbn由12nnbb，知此时数列nb为等差数列。（III）由题意知，1123425678932,2,4,2,8,cacccaccccca则当1m时，12224Tc，不合题意，舍去；当2m时，212342Tccc，所以2m成立；当3m时，若12mc，则12mmTc，不合题意，舍去；从而1mc必是数列na中的某一项1ka，则123123422222222kmkbbbbTaaaaa个个个个23123(2222)2()kkbbbb12(22)2(21)222222kkkkkk又1112222kmkca，所以122222kkk122k，即2210kkk，所以221(1)kkkkk因为*21()kkN为奇数，而2(1)kkkk为偶数，所以上式无解。即当3m时，12mmTc综上所述，满足题意的正整数仅有2m【押题8】数列na满足12a，1121()22nnnnnaana（nN）.（Ⅰ）设2nnnba，求数列nb的通项公式nb；（Ⅱ）设11(1)nncnna，数列nc的前n项和为nS，求出nS并由此证明：516nS＜12.【押题指数】★★★★★【解析】（Ⅰ）由已知可得1112()22nnnnnaana，即112212nnnnnaa，即112212nnnnnaa3分即112nnbbn∴213211111,2,,(1)222nnbbbbbbn累加得211(1)11123(1)2222nnnnnnbbn又112212ba∴2211122nnnb…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知12221nnnnabn，∴2122(1)1nnan，2221(1)1122(1)22(1)2nnnnnncnnnn211122(1)2(1)2nnnnnnnnn111111222(1)2nnnnn…9分∴2122311111111111()()()()2222122222322(1)2nnnnSnn2111(1)1111221222(1)212nnn11121()221nnn………11分易知111211()()(1)2121nnnnn递减∴0＜111121123()()212118nnn∴151121()16221nnn＜12，即516nS＜12……13分注：若由nC＞0得1516nSS只给1分.【押题9】设1C,2C,…,nC,…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线33yx相切，对每一个正整数n,圆nC都与圆1nC相互外切，以nr表示nC的半径，已知{}nr为递增数列.(Ⅰ)证明：{}nr为等比数列；(Ⅱ)设11r，求数列{}nnr的前n项和.【押题指数】★★★★★【解析】(Ⅰ)将直线33yx的倾斜角记为，则有3tan3，1sin2.设nC的圆心为(,0)n，则由题意知12nnr，得2nnr；同理112nnr.从而1112nnnnnrrr，将2nnr代入，解得13nnrr.故{}nr为公比3q等比数Oxy列.(Ⅱ)由于11r，3q，故13nnr，从而13nnnnr，记1212nnnSrrr，则有111233nnSn，①1211323(1)333nnnSnn②①-②，得1212133333nnnSn13333()3222nnnnn∴119139(23)3()34224nnnnSn