数学21数列的概念测试新人教A版必修5高中数学练习试题

第-1-页共3页1数列的概念1．数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N*或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a1，a2，…，an…，简记为{an}，其中an是数列{an}的第项．2．数列的通项公式一个数列{an}的与之间的函数关系，如果可用一个公式an＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．3．在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为：na21nnan4．求数列的通项公式的其它方法⑴公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．⑵观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．⑶递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.例1.根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式．⑴－312，534，－758，9716…；⑵1，2，6，13，23，36，…；⑶1，1，2，2，3，3，解：⑴an＝(－1)n)12)(12(12nnn⑵an＝)673(212nn（提示：a2－a1＝1，a3－a2＝4，a4－a3＝7，a5－a4＝10，…，an－an－1＝1＋3(n－2)=3n－5．各式相加得)673(21)43)(1(211)]53(10741[12nnnnnan⑶将1，1，2，2，3，3，…变形为,213,202,211,,206,215,204∴4)1(1222)1(111nnnnna典型例题基础过关第-2-页共3页变式训练1.某数列{an}的前四项为0，2，0，2，则以下各式：①an＝22[1＋(－1)n]②an＝n)(11③an＝)(0)(2为奇数为偶数nn其中可作为{an}的通项公式的是（）A．①B．①②C．②③D．①②③解：D例2.已知数列{an}的前n项和Sn，求通项．⑴Sn＝3n－2⑵Sn＝n2＋3n＋1解⑴an＝Sn－Sn－1(n≥2)a1＝S1解得：an＝)1(1)2(321nnn⑵an＝)2(22)1(5nnn变式训练2：已知数列{an}的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn－1)＝n，(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为．解：,110101)1lg(nnnnnSSnS当n＝1时，a1＝S1＝11；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝10n－10n－1＝9·10n－1．故an＝)2(109)1(111nnn例3.根据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式．⑴a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)⑵a1＝1，an＝113nna(n≥2)⑶a1＝1，an＝11nann(n≥2)解：⑴an＝2an－1＋1(an＋1)＝2(an－1＋1)(n≥2)，a1＋1＝2．故：a1＋1＝2n，∴an＝2n－1．⑵an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1＝3n－1＋3n－2＋…＋33＋3＋1＝)13(21n．(3)∵nnaann11∴an＝12111232211nnnnaaaaaaaaannnnnnnnn112123变式训练3.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝22nnaa(n∈N*)，求该数列的通项公式．解：方法一：由an＋1＝22nnaa得21111nnaa，∴{na1}是以111a为首项，21为公差的等差数列．第-3-页共3页∴na1＝1＋(n－1)·21,即an＝12n方法二：求出前5项，归纳猜想出an＝12n，然后用数学归纳证明．例4.已知函数)(xf＝2x－2－x，数列{an}满足)(log2naf＝－2n，求数列{an}通项公式．解：nafnanan222)(log2log2log2naann21得nnan12变式训练4.知数列{an}的首项a1＝5．前n项和为Sn且Sn＋1＝2Sn＋n＋5（n∈N*）．(1)证明数列{an＋1}是等比数列；(2)令f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求函数f(x)在点x＝1处导数f1(1)．解：(1)由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，∴n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，两式相减，得：Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＝2an＋1从而an＋1＋1＝2(an＋1)当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，∴a1＋a2＝2a1＋6,又a1＝5，∴a2＝11∴111nnaa＝2，即{an＋1}是以a1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列.(2)由(1)知an＝3×2n－1∵)(xf＝a1x＋a2x2＋…＋anxn∴)('xf＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1从而)1('f＝a1＋2a2＋…＋nan＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n(3×2n－1)＝3(2＋2×22＋…＋n×2n)－(1＋2＋…＋n)＝3[n×2n＋1－(2＋…＋2n)]－2)1(nn＝3(n－1)·2n＋1－2)1(nn＋61．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.2．由Sn求an时，用公式an＝Sn－Sn－1要注意n≥2这个条件，a1应由a1＝S1来确定，最后看二者能否统一．3．由递推公式求通项公式的常见形式有：an＋1－an＝f(n)，nnaa1＝f(n)，an＋1＝pan＋q，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）．归纳小结