数学23直线平面垂直的判定及其性质同步测试及解析新人教A版必修2高中数学练习试题

第-1-页共9页2.3直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1、二面角指的是()A.两个平面相交所组成的角B.经过同一条直线的两个平面所组成的图形C.一条直线出发的两个半平面组成的图形D.两个平面所夹的不大于90°的角2、α、β、γ、ω是四个不同平面，若α⊥γ，β⊥γ，α⊥ω，β⊥ω，则()A.α∥β且γ∥ωB.α∥β或γ∥ωC.这四个平面中可能任意两个都不平行D.这四个平面中至多有一对平面平行3、已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α，则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.34、如图2-3-15,设P是正方形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是()图2-3-15A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两都垂直C.平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直参考答案与解析:思路解析:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC.又∵BC⊥AB,PA∩AB=A,第-2-页共9页∴PC⊥平面PAB,从而平面PBC⊥平面PAB.由AD⊥PA,AD⊥AB,PA∩AB=A得AD⊥平面PAB.∵AD平面PAD,∴平面PAD⊥平面PAB.5、如图2-3-16,等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,若沿AD折成直二面角,则A到BC的距离是……()图2-3-16A.1B.C.D.参考答案与解析:思路解析:折叠后BD=DC=,且∠BDC为二面角的平面角,∠BDC=90°,∴BC=.取BC中点E,连结DE,则DE⊥BC,进一步易证AE⊥BC,AE的长为所求距离.∵AD=,DE=BC=,∴AE=.答案:C主要考察知识点:空间直线和平面6、下列命题正确的是()A.垂直于同一条直线的两直线平行B.垂直于同一条直线的两直线垂直C.垂直于同一个平面的两直线平行第-3-页共9页D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行参考答案与解析:思路解析:在空间中垂直于同一直线的两条直线,可能平行相交,也可能异面,所以A,B错,垂直于同一直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内,直线和平面平行,所以D错.答案:C主要考察知识点:空间直线和平面7、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交参考答案与解析:解析：取BD中点E，连结AE、CE.∵AB=AD=BC=CD,∴AE⊥BD,CE⊥BD.∴BD⊥平面AEC.又AC面AEC，∴BD⊥AC.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面8、线段AB的长等于它在平面α内射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为（）A.30°B.45°C.60°D.120°参考答案与解析:解析：由直角三角形的边角关系，可知直线与平面α所成的角为60°.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面9、设α,β为两个不重合的平面,l,M,n为两两不重合的直线,给出下列四个命题:①若α∥β,,则l∥β;②若,,M∥β,n∥β，则α∥β；③若l∥α,l⊥β,则α⊥β;④若,,且l⊥M,l⊥n,则l⊥α.其中正确命题的序号是()A.①③④B.①②③C.①③D.②④参考答案与解析:解析：由面面平行的判定定理,知②错误;由线面垂直的判定定理知④错误.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面10、下列说法中正确的是()①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直第-4-页共9页③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直A.①②③B.①②③④C.②③D.②③④参考答案与解析:解析：由线面垂直的性质及线面平行的性质,知①②③正确;④错,过直线外一点作平面与直线垂直,则平面内的所有直线都与该直线垂直.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面二、填空题1、α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线，给出四个结论：①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______.参考答案与解析:解析：假设①③④为条件，即m⊥n,n⊥β,m⊥α成立，如图.过m上一点P作PB∥N，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B.又设m⊥α，垂足为A，过PA、PB的平面与α、β的交线l交于点C.∵l⊥PA,l⊥PB,∴l⊥平面PAB.∴l⊥AC，l⊥BC.∴∠ACB是二面角α-l-β的平面角.由m⊥n,显然PA⊥PB，∴∠ACB=90°,∴α⊥β.由①③④②成立.反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立.答案：②③④①或①③④②.主要考察知识点:空间直线和平面2、α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线，给出四个结论：①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______.第-5-页共9页参考答案与解析:解析：假设①③④为条件，即m⊥n,n⊥β,m⊥α成立，如图.过m上一点P作PB∥N，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B.又设m⊥α，垂足为A，过PA、PB的平面与α、β的交线l交于点C.∵l⊥PA,l⊥PB,∴l⊥平面PAB.∴l⊥AC，l⊥BC.∴∠ACB是二面角α-l-β的平面角.由m⊥n,显然PA⊥PB，∴∠ACB=90°,∴α⊥β.由①③④②成立.反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立.答案：②③④①或①③④②.主要考察知识点:空间直线和平面3、设三棱锥PABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出下列命题：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC=90°，H是AC的中点，则PA=PB=PC；④若PA=PB=PC，则H是△ABC的外心.请把正确命题的序号填在横线上:______________.参考答案与解析:解析：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H为垂心.②∵PA⊥PB，PA⊥PC,∴PA⊥面PBC.∴PA⊥BC.又PH⊥面ABC，∴PH⊥BC.∴BC⊥面PAH.第-6-页共9页∴AH⊥BC.同理BH⊥AC，∴H为垂心.③∵H为AC中点，∠ABC=90°,∴AH=BH=CH.又PH⊥面ABC，由勾股定理知PA=PB=PC.④∵PA=PB=PC，又PH⊥面ABC，同③可知AH=BH=CH，∴H为外心.答案：①②③④主要考察知识点:空间直线和平面4、如图，P是二面角α-AB-β的棱AB上一点，分别在α、β上引射线PM、PN,截PM=PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，则二面角α-AB-β的大小是___________.参考答案与解析:解析：过M在α内作MO⊥AB于点O，连结NO，设PM=PN=a,又∠BPM=∠BPN=45°,∴△OPM≌△OPN.∴ON⊥AB.∴∠MON为所求二面角的平面角.连结MN，∵∠MPN=60°,∴MN=a.又,∴MO2+NO2=MN2.∴∠MON=90°.答案：90°主要考察知识点:空间直线和平面三、解答题1、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.第-7-页共9页参考答案与解析:解析：要证明EF∥BD1，可构造与它们都垂直的一个平面.由于A1D，AC均为各面的对角线，通过对角线的平行性可构造垂直关系.证明：连结A1C1，由于AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1,∴EF⊥平面A1C1D.①∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1,∴BB1⊥A1C1.又A1B1C1D1为正方体,∴A1C1⊥B1D1.∵BB1∩B1D1＝B1,∴A1C1⊥平面BB1D1D.而BD1平面BB1D1D,∴BD1⊥A1C1.同理，DC1⊥BD1，DC1∩A1C1＝C1,∴BD1⊥平面A1C1D.②由①②可知EF∥BD1.主要考察知识点:空间直线和平面2、在长江汽车渡口,马力不足或装货较重的汽车上岸时,采用沿着坡面斜着成S形的方法向上开,这是为什么？你能从数学的角度进行解释吗？参考答案与解析:答案:在汽车马力恒定的情况下,行驶单位路程内,垂直上升高度愈大,汽车愈费“力”,当“力”所不及时,就会发生危险.日常经验告诉我们,走S形可减少这种危险,从数学的角度看,可作如下解释.第-8-页共9页图2-3-22如图,AB表示笔直向上行走的路线(AB⊥CA),α表示它与水平面所成的交角,CB表示斜着向上行走的路线,β表示它与水平面所成的夹角,它们所达到的高度都是BD.现在的问题就是要研究α和β这两个角哪个大,越大越费力.在Rt△BAD中,sinα=.①在Rt△BCD中,sinβ=.②比较①与②,因为AB、CB分别是直角三角形ABC的直角边和斜边,也就是说AB＜CB,所以＞.又因为α、β都是锐角,所以α＞β.因此汽车沿着CB方向斜着向上开要省力.山区修筑的公路,采取盘山而上的方法,也是这个道理.主要考察知识点:空间直线和平面3、如图，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且，BC=2，求以BC为棱、以面BCD和面BCA为面的二面角的大小.参考答案与解析:解:取BC的中点E，连结AE、DE，∵AB=AC，∴AE⊥BC.第-9-页共9页又∵△ABD≌△ACD，AB=AC，∴DB=DC.∴DE⊥BC.∴∠AED为二面角A-BC-D的平面角.又∵△ABC≌△DBC,且△ABC为以BC为底的等腰三角形，故△DBC也是以BC为底的等腰三角形，∴.又△ABD≌△BDC，∴AD=BC=2.在Rt△DEB中，，BE=1，∴,同理.在△AED中，∵AE=DE=,AD=2,∴AD2=AE2+DE2.∴∠AED=90°.∴以面BCD和面BCA为面的二面角的大小为90°.主要考察知识点:空间直线和平面