数学人教A版选修22自我小测23数学归纳法Word版含解析

自我小测1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为()A．1B．1＋a＋a2C．1＋aD．1＋a＋a2＋a32．用数学归纳法证明“凸n(n≥3，n∈N)边形的内角和公式”时，由n＝k到n＝k＋1时增加的是()A．π2B．πC．3π2D．2π3．利用数学归纳法证明1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＜1(n∈N*，且n≥2)时，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是()A．增加了12k＋1这一项B．增加了12k＋1和12k＋2两项C．增加了12k＋1和12k＋2两项，同时减少了1k这一项D．以上都不对4．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()A．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋1时正确B．假设n≤k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋2时正确C．假设n＝2k＋1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋3时正确D．假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋1时正确5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立6．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n∈N*且n＞1)时，假设当n＝k时不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．7．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1(n2＋n)时，从n＝k到n＝k＋1左边需要添加的因式是________．8．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________．9．已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)．(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．10．用数学归纳法证明对一切n∈N*,1＋122＋132＋…＋1n2≥3n2n＋1.参考答案1．B2．解析：如图，由n＝k到n＝k＋1时，凸n边形的内角和增加的是：∠1＋∠2＋∠3＝π，故选B．答案：B3．解析：不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n的等差数列，当n＝k时，左端为1k＋1k＋1＋1k＋2＋…＋12k；当n＝k＋1时，左端为1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，对比两式，可得结论．答案：C4．解析：因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤知，第二步应先假设第k(k∈N*)个正奇数成立，本题即假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推第k＋1个正奇数即n＝2k＋1时正确．答案：D5．解析：对于A项，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A项错误．对于B项，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B项错误．对于C项，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C项错误．对于D项，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D项．答案：D6．1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1＜k＋17．解析：∵当n＝k时，左边＝(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(k＋k)，当n＝k＋1时，左边＝(1＋1)(2＋2)(3＋3)＋…＋(k＋k)(k＋1＋k＋1)，比较两式可知，由n＝k到n＝k＋1，左边需添加的因式为(2k＋2)．答案：2k＋28．解析：采取凑配法，凑出归纳假设k3＋5k来，(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.答案：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋69．(1)解：a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，猜想an＝5×2n－2(n≥2，n∈N*)．(2)证明：①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，猜想成立．②假设当n＝k时成立，即ak＝5×2k－2(k≥2，k∈N*)，当n＝k＋1时，由已知条件和假设有ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2＝5＋5(1－2k－1)1－2＝5×2k－1.故n＝k＋1时，猜想也成立．由①②可知，对n≥2，n∈N*，有an＝5×2n－2，所以数列{an}的通项an＝5，n＝1，5×2n－2，n≥2，n∈N*.10．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝3×12×1＋1＝1，不等式成立．(2)假设当n＝k时，不等式成立，即1＋122＋132＋…＋1k2≥3k2k＋1，则当n＝k＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2≥3(k＋1)2(k＋1)＋1，只需证3k2k＋1＋1(k＋1)2≥3(k＋1)2k＋3.因为3(k＋1)2k＋3－3k2k＋1＋1(k＋1)2＝34(k＋1)2－1－1(k＋1)2＝1－(k＋1)2(k＋1)2[4(k＋1)2－1]＝－k(k＋2)(k＋1)2(4k2＋8k＋3)≤0，所以3k2k＋1＋1(k＋1)2≥3(k＋1)2k＋3，即1＋122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2≥3(k＋1)2(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时不等式成立．由(1)(2)知，不等式对一切n∈N*都成立．