数学经典易错题会诊与高考试题预测7高中数学练习试题

1经典易错题会诊与2012届高考试题预测(七)考点7不等式经典易错题会诊命题角度1不等式的概念与性质命题角度2均值不等式的应用命题角度3不等式的证明命题角度4不等式的解法命题角度5不等式的综合应用探究开放题预测预测角度1不等式的概念与性质预测角度2不等式的解法预测角度3不等式的证明预测角度4不等式的工具性预测角度5不等式的实际应用经典易错题会诊命题角度1不等式的概念与性质1．(典型例题)如果a、b、c满足cba，且ac0，那么下列选项中不一定成立的是()A．abacB．c(b-a)0C．cb2ab2D．dc(a-c)0[考场错解]A∵bc，而ab，ao不一定成立，原因是不知a的符号．[专家把脉]由dbc，且ac0．则。与c必异号，又由ac，故a0，c0，条件分析不透．[对症下药]C．由abc且ac0，故a0且c0．(1)由bc，又∵a0，∴abac．(2)∵b-a0，c0(b-a)·c0，D．a-c0，acOac(a-c)0，而C中当b=0时显然不成立，故选D2．(典型例题)若011ba，则下列不等式①a+bab;②|a||b|；③ab④2baab中，正确的不等式有()A．1个B．2个C．3个D．4个[考场错解]A只有①正确，②、③显然不正确，④中应是baab≥2，故④也错．2[专家把脉]∵④中忽视与不可能相等，∵a≠b，故ab≠ba．[对症下药]B方法1：运用特值法，如a=-，b=-3．方法2：运用性质由011ba，则ba0，故而判断．3．(典型例题)对于0a1，给出下列四个不等式①loga(1+o)loga(1+a1)②1oga(1+o)loga(1+a1)③a1+aaa11④a1+aaa11其中成立的是()A.①与③B．①与④C.②与③D．②与④[考场错解]B∵1+a1+a1，故1oga(1+a)loga(1+a1)．[专家把脉]对数函数比较大小要考虑底数a的范围，它与指数函数一样．[对症下药]D∵0a1．∴a1a1∴1+a1+a1而y=1ogax与y=ax均为减函数．∴1oga(1+a)1oga(1+a1)，a1+aaa11．4．(典型例题)已知实数a、b满足等式,)31()21(ba，下列五个关系式①0ba②ab0③0ab④ba0⑤a=b其中不可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个[考场错解]C∵a=b显然不成立，而a与b的大小不定，故①②③④只有可能两个成立，故有3个不可能成立，即alg21=big31，-a1g2=-blg3．又∵1g21g3，∴-a-b，∴ab，故②③正确．[专家把脉]题目中不可能成立，⑤中当a=b=0时，ba)31()21(，所以有可能成立．[对症下药]B由错解中可知a《b，故②③正确．而a=b=0时也可能成立，故不可能成立的只有①④．专家会诊(1)比较两个实数的大小，可采用作差和作商法，然后适当变形(如配方、因式分解等)后3才能判断其符号．(2)不等式性质的适用时要注意它的条件，如“ab0时，abba11”．不能弱化条件变成“baba11”也不能强化条件变为“ab0ba11”考场思维训练1若，|a|，|b|0，且ab0，则下列不等式中能成立的是()A．ba11B．aba11C．||21log||21logbaD．bn)21()21(答案：C解析：利用特值法可看出某些选择不能成立，而事实上，∵|a|，|b|0，又0211，∴10g|a|log21|b|，由此也可直接得结论，应选C2已知a、b为不等正数，st0，M=bat2，N=abbas2)(，则M、N的大小关系是_________.答案：MN解析：由0)(2)(222baabbaababba0，得baabba22，由st00-t-s，故absbabatbatabsba2)(222)()(命题角度2均值不等式的应用1．(典型例题)设a，0，b0，则以下不等式中不恒成立的是()A．411)(babaB．2233abbaC．baba22222D．baba||[考场错解]Di||||||baba不一定大于或等于ba[专家把脉]D中直接放缩显然不易比较．[对症下药]BA：a+b≥2ab,)(411)(1211时取bababaabba∴成立C：a2+b2+2=a2+1+b2+1≥2a+2b(当且仅当a=b=1时取“=”)∴成立D：两边平方|a-b|≥a+b-2)(baab∴a-b≥a+b-2ab或a-b≤-a-b+2ab当ba时显然成立．解得a≥b或a≤b∴成立．42．(典型例题)设x∈(0，π)，则函数f(x)=sinx+xsin4的最小值是()A．4B．5C．3D．6[考场错解]因为x∈(0，π)，所以sinx0，xsin40，f(x)=sinx+xxxsin4sin2sin4=4，因此f(x)的最小值是4．故选A[专家把脉]忽略了均值不等式a+b≥2ab(a.0，b0)中等号成立的条件：当且仅当a=b时等号成立．事实上，sinx=xsin4不可能成立，因为它成立的条件是sinx=±2，这不可能．[对症下药](1)f(x)=sinx+xsin4=sinx+xsin1+xsin3，因为sinx+xsin3≥2，当且仅当sinx=1即x=2时等号成立．又xsin3≥3，当且仅当sinx=1即x=2时等号成立．所以f(x)=sinx+xsin4≥2+3=5，f(x)的最小值是5．故应选B．(2)令sinx=t，因为x∈(0，π)，所以0t≤1，所给函数变为y=t+t4．易知此函数在区间(0，1)上是减函数，所以，当t=1时，y取最小值5．故应选B．3．(典型例题)设a≥0，b≥0，a2+22b=1，求a21b的最大值．[考场错解]0i2)21(242121)2(2121bababai43]1)212[(21]222212[21abaa(a=0时取等号)[专家把脉]并非定值．[对症下药]为利用均值不等式时出现定值，先进行适当的“凑、配”．222122221221,23222222bababababa21,42322322bfa当且仅当时取“=”.专家会诊(1)利用均值不等式求最值时必须满足“一正”、二定、三等”.尤其是等号成立的条件,必须验证确定,而要获得定值条件有时要配凑.要有一定的灵活性和变形技巧.5(2)利用均值不等式解决实际问题、证明不等式时,要会利用函数的思想和放缩法.考场思维训练1已知)(,2,2,1222222的最小值为则cabcabaccbba321.321.321.213.DCBA答案：B解析：联立221222222accbba解得：262222232121222cbacba若ab+bc+ca取最小值，可令b=26,22,22ca则ab+c+ca=321)26(22)26(222222的大小关系是则且若cbayxcxbyxamyxmymmm),(log21),log.(log21,2log,10,2,2.2___________.答案：解析：a≤bc∵2yx≥xy，0m1∴10gm2yx≤21logmx+logmy，,∴a≤b，又∵yxxyyx11∴212111yx=1．又∵0m1，∴bc.故a≤bc.3..________._______)31(,3102xxxx此时的最大值是则若答案：92,2434解析：∵x2(1-3x)=23x·x·(32-2x)≤2434，当且仅当x=32-2x，即x=92时，取得最大值2434命题角度3不等式的证明61.(典型例题)设函数.0,11)(xxxf(Ⅰ)证明:当0ab,且f(a)=f(b)时,ab1;(Ⅱ)点P(xo,yo)(0xo1)在曲线y=f(x)上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用xo表示).(2)1111)(,10xaxfyx∴f′),10(1)(0200xxx曲线y=f(x)在点),(1:),(020000xxxyyyx处的切线方程为即.)2(21)()).2(1,0()0),2((,220000000020xxAxxxxyxxxxxy故所求面积表达式为和轴正向的交点为轴切线与[专家把脉]在运用不等式时应考虑等号成立时是否符合条件.[对症下药](Ⅰ)证法一:因f(x)=.),1(,]1,0()().,1(,11],1,0(,1111上是增函数而在上是减函数在故xfxxxxx1,1.22211.111110)()(0abababbaabbabababfafba即故即和得且由证法二:.0.1111,1111.1111)()(矛盾与可得同号与若得由babababqbabfaf122,0)2)((0)(22112111111),()()1(22222222ababbaabbabaabbaabbabaabbbaababfaf考场错解7.1,1.22211.2111111.1111abababbaabbabababa即故即即必异号与故(Ⅱ)解法一:0x1时,.1111)(xxxfy∴f′),(1:),()(10,1)(0200000200xxxyyyxPxfyxxx处的切线方程为在点曲线.)2(1,0)0),2((2020000020xxxxyxxxxxy和轴正向的交点为轴切线与即.)2(21)2(1).2(21)(:2000000xxxxxxA式为故所求三角形面积表达解法二:设过点P(xo,yo)处的切线方和为:y-yo=k(x-xo),k为待定系数.代入)10(11)(xxxfy并整理得kx2+(yo+1-kxo)x-1=0.因为P是切点，所以方程有重根，故判别式.0414)1(200200kkxxkkxy).10(101020200xxkkxx即.2),(1:),()(0020020000xxxxyxxxyyyxPxfy即处的切线方程为在点曲线.)2(21)2(1)2(21)(:.)2(1,0)0),2((2000.0000000xxxxxxAxxxxyx式为故所求三角形面积表达和轴正向的交点为轴切线与2．(典型例题)已知),()1(3221nnnan求证：2)2(2)1(nnannn8[考场错解].)1(,nnnn有时当.2)2(2)1(,2)1()1(32)1(3221,1)1(,2)1(321)1(433221成立有综上所述又nnannnnnnnnannnnnnnnannn[专家把脉]在证.2)2(2)3()1(32,1)1(,2)2(nnnnnnnnnnan放缩时得过大时[对症下药](1)同上.2)2(21)32(212123222121)1(.2)2(:)2(