每周一练导数的应用2

中国权威高考信息资源门户．（本小题满分13分）已知曲线:eaxCy．（Ⅰ）若曲线C在点(0,1)处的切线为2yxm，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：yaxb的上方，求实数b的取值范围．2．（本小题满分13分）已知函数2ln,,()23,,xxxafxxxxa≤其中0a≥．（Ⅰ）当0a时，求函数()fx的图象在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意12,xxR，且12xx，都有12()()fxfx，求a的取值范围．3．（本小题满分13分）设函数2()ln()fxxaxxaR．（Ⅰ）若1a，求函数fx的单调区间；（Ⅱ）若函数()fx在区间(0,1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线)(xfy的切线，证明：切点的横坐标为1．中国权威高考信息资源门户．解（Ⅰ）eaxya，—————————————————2分因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：2yxm，所以120m且0|2xy．————————————————4分解得1m，2a—————————————————5分（Ⅱ）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的yaxb的上方，等价于∀x，aR，都有eaxaxb，即∀x，aR，e0axaxb恒成立，——————————————————6分令()eaxgxaxb，————————————————————7分①若a=0，则()1gxb，所以实数b的取值范围是1b；———————————————————8分②若0a，()(e1)axgxa，由'()0gx得0x，————————————————————9分'(),()gxgx的情况如下：x0（-,）0（0,+）'()gx0+()gx↘极小值↗————————————————————————11分所以()gx的最小值为(0)1gb，—————————————————————12分所以实数b的取值范围是1b；综上，实数b的取值范围是1b．———————————————————13分中国权威高考信息资源门户：对于任意实数a，曲线C总在直线的yaxb的上方，等价于∀x，aR，都有eaxaxb，即∀x，aR，eaxbax恒成立，———————————————6分令tax，则等价于∀tR，etbt恒成立，令()etgtt，则()e1tgt，———————————7分由'()0gt得0t，——————————————9分'(),()gtgt的情况如下：t0（-,）0（0,+）'()gt0+()gt↘极小值↗———————————————11分所以()etgtt的最小值为(0)1g，———————————————12分实数b的取值范围是1b．————————————————————13分2．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得()(ln)ln1fxxxx，其中0x，………………………………2分所以(1)1f，又因为(1)0f，所以函数()fx的图象在点(1,(1))f处的切线方程为1yx．………………………………4分（Ⅱ）解：先考察函数2()23gxxx，xR的图象，配方得2()(1)2gxx，………………………………5分所以函数()gx在(,1)上单调递增，在(1,)单调递减，且max()(1)2gxg．……………6分因为对于任意12,xxR，且12xx，都有12()()fxfx成立，所以1a≤．………………………8分以下考察函数()lnhxxx，(0,)x的图象，中国权威高考信息资源门户则()ln1hxx，令()ln10hxx，解得1ex．……………………9分随着x变化时，()hx和()hx的变化情况如下：x1(0,)e1e1(,)e()hx0()hx↘↗即函数()hx在1(0,)e上单调递减，在1(,)e上单调递增，且min11()()eehxh．…11分因为对于任意12,xxR，且12xx，都有12()()fxfx成立，所以1ea≥．………………………………12分因为12e（即minmax()()hxgx），所以a的取值范围为1,e[1]．………………………………13分3．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1a时，2()ln(0)fxxaxxx，1(21)(1)()21xxfxxxx，…………………………1分11(0),()0,(,),()022xfxxfx，，()fx的减区间为1(0,)2，增区间1(,)2．…………………………3分（Ⅱ）1()2fxxax()fxQ在区间(01]，上是减函数，()0fx对任意(0,1]x恒成立，即120xax对任意(0,1]x恒成立，…………………………5分12axx对任意(0,1]x恒成立，令1()2gxxx，min()agx，…………………………7分中国权威高考信息资源门户易知()gx在(01]，单调递减，min()(1)1gxg．1a．…………………………8分（Ⅲ）设切点为(,())Mtft，1()2fxxax，切线的斜率12ktat，又切线过原点ftkt，12fttatt，即：222ln21,1ln0tatttattt，存在性：1t满足方程21ln0tt，所以，1t是方程21ln0tt的根．…………………………11分再证唯一性：设21lnttt，120ttt，()t在(0,)单调递增，且10，所以方程21ln0tt有唯一解．综上，切点的横坐标为1．…………………………13分更多试题下载：（在文字上按住ctrl即可查看试题）高考模拟题：高考各科模拟试题【下载】历年高考试题：历年高考各科试题【下载】高中试卷频道：高中各年级各科试卷【下载】高考资源库：各年级试题及学习资料【下载】点击此链接还可查看更多高考相关试题【下载】