江苏省天一中学2018届高三数学二轮复习解析几何应用题

解析几何应用题【拓展探究】1.某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”其中,ACBD是过抛物线焦点F且互相垂直的两条弦，该抛物线的对称轴为EF，通径长为4．记EFA，为锐角．（通径：经过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦）（1）用表示AF的长；（2）试建立“蝴蝶形图案”的面积S关于的函数关系式，并设计的大小，使“蝴蝶形图案”的面积最小．【解】（1）由抛物线的定义知，cos2AFAF，解得21cosAF，π0,2．（2）据（1）同理可得22π1sin1cos2BF，221cosπ1cosCF，223π1sin1cos2DF．所以“蝴蝶形图案”的面积12212221cos1sin21cos1sinS，即2241sincossincosS，π0,2．令1sincost，则24,2,Sttt，所以当2t，即π4时，S的最小值为8．答：当π4时，可使“蝴蝶形图案”的面积最小．2.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为lhS4）EFBCAD【解】（1）如图建立直角坐标系，则点(11,4.5)P，椭圆方程为12222byax.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得447,7a此时887233.37la.因此隧道的拱宽约为33.3米.（2）由椭圆方程12222byax，得.15.4112222ba因为2222114.52114.5abab即99,ab且2,,lahb所以99.422abSlh当S取最小值时，有2222114.51,2ab得92112,2ab此时222231.1,6.4lahb故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.3.如图所示，有两条道路OM与ON，060MON，现要铺设三条下水管道OA，OB，AB（其中A，B分别在OM，ON上），若下水管道的总长度为3km，设()OAakm，()OBbkm．（1）求b关于a的函数表达式，并指出a的取值范围；（2）已知点P处有一个污水总管的接口，点P到OM的距离PH为34km，到点O的距离PO为74km，问下水管道AB能否经过污水总管的接口点P？若能，求出a的值，若不能，请说明理由．5.如图,为了保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),34tanBCO.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大？【解法探究】（1）解法1：（两角差的正切）连结AC，由题意知6tan17ACO，则由两角差的正切公式可得：2tantan()3ACBBCOACO，故cos150BCACBACm答：新桥BC的长度为150m.解法2：（解析法）由题意可知(0,60),(170,0)AB；由34tanBCO可知直线BC的斜率43k，则直线BC所在直线的方程为4(170)3yx；又由ABBC可知，AB所在的直线方程为3604yx；联立方程组4(170)33604yxyx，解得80,120xy；即点(80,120)B，那么22(80170)120150BC.答：新桥BC的长度为150m.解法3：（初中解法）延长CB交OA所在直线于点G，由34tanBCO可得6803OG，8503CG，5003AG，4cossin5CGOGCO，故400cos3BGCGOAG，在OCG中，由勾股定理得8503CG，故150BCm答：新桥BC的长度为150m.（2）解法1：（解析法）由题意设(0,)Ma(060)a，圆M的方程为222()xyar，且由题意可知268068033541()3aar.又古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，那么80(60)80rara，解得1035a；由函数68035ar为区间[10,35]上的减函数，故当10a时，半径取到最大值为130.综上可知，当10OMm时，圆形保护区的面积最大，且最大值为16900.解法2：（初中解法）设BC与圆切于点N，连接MN，过点A作//AHBC交MN于点H.设OMa，则60AMa，由古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，那么80(60)80rara，解得1035a.由4tantan3AMHOCN，可得3(60)5MHa，由（1）解法3可得100AB，所以33100(60)13655MNxx，故MN即圆的半径的最大值为130，当且仅当10a时取得半径的最大值.综上可知，当10OMm时，圆形保护区的面积最大.6.如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正东方向上，OA=10km，OB=20km，C在O的北偏西45°方向上，CO=52km．（1）求居民区A与C的距离；（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE=θ（0≤θπ），铺设三条分光缆的总费用为w（元）．①求w关于θ的函数表达式；②求w的最小值及此时tan的值．θFE北OABC【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？