江苏省常州市高三上期末数学试卷

高考帮——帮你实现大学梦想！1/212015-2016学年江苏省常州市高三（上）期末数学试卷一、填空题1．设复数z满足（z+i）（2+i）=5（i为虚数单位），则z=______．2．设全集U={1，2，3，4}，集合A={1，3}，B={2，3}，则B∩∁UA=______．3．某地区有高中学校10所、初中学校30所，小学学校60所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取20所学校对学生进行体质健康检查，则应抽取初中学校______所．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点P（1，﹣2），则该双曲线的离心率为______．5．函数f（x）=log2（﹣x2+2）的值域为______．6．某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，则选出的学生中男女生都有的概率为______．7．如图所示的流程图中，输出S的值是______8．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2，锐角为60°的菱形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=3，若点M是BC的中点，则三棱锥M﹣PAD的体积为______．9．已知实数x，y满足，则2x+y的最大值为______．10．已知平面向量，，x∈R，若，则||=______．11．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1+a2=，a3+a4+a5+a6=40．则的值为______．高考帮——帮你实现大学梦想！2/2112．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=AB=4，CD=1，动点P在边BC上，且满足（m，n均为正实数），则的最小值为______．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x﹣4）2+y2=4，动点P在直线x+y﹣b=0上，过P分别作圆O，O1的切线，且点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是______．14．已知函数f（x）=若不等式f（x）≥kx，对x∈R恒成立，则实数k的取值范围是______．二、简答题15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos（B﹣C）=1﹣cosA，且b，a，c成等比数列，求：（1）sinB•sinC的值；（2）A；（3）tanB+tanC的值．16．如图，正三棱柱A1B1C1﹣ABC，点D，E分别是A1C，AB的中点．（1）求证：ED∥平面BB1C1C（2）若AB=BB1，求证：A1B⊥平面B1CE．17．已知等差数列{an}的公差d为整数，且ak=k2+2，a2k=（k+2）2，其中k为常数且k∈N*（1）求k及an（2）设a1＞1，{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的首项为l，公比为q（q＞0），前n项和为Tn，若存在正整数m，使得，求q．18．如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP（点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为DP=DC，∠CDP=60°且圆弧栈桥高考帮——帮你实现大学梦想！3/21BP在∠CDP的内部，已知BC=2OB=2（km），设湖岸BC与直线栈桥CD，DP是圆弧栈桥BP围成的区域（图中阴影部分）的面积为S（km2），∠BOP=θ（1）求S关于θ的函数关系式；（2）试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值，若不存在，说明理由．19．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆（a＞b＞0）的离心率是e，定义直线y=为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为y=，长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：x2+y2=3的切线l，过点O且垂直于OP的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论．20．已知a，b为实数，函数f（x）=ax3﹣bx．（1）当a=1且b∈[1，3]时，求函数F（x）=||+2b+1（x∈[]的最大值为M（b））；（2）当a=0，b=﹣1时，记h（x）=①函数h（x）的图象上一点P（x0，y0）处的切线方程为y=y（x），记g（x）=h（x）﹣y（x）．问：是否存在x0，使得对于任意x1∈（0，x0），任意x2∈（x0，+∞），都有g（x1）g（x2）＜0恒成立？若存在，求也所有可能的x0组成的集合；若不存在，说明理由．②令函数H（x）=，若对任意实数k，总存在实数x0，使得H（x0）=k成立，求实数s的取值集合．选修4-1：几何证明选讲21．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB=AC，AP∥BC，弦CE的延长线交AP于点D，求证：AD2=DE•DC．选修4-2：矩形与变换高考帮——帮你实现大学梦想！4/2122．已知矩阵M=的属于特征值8的一个特征向量是e=，点P（﹣1，2）在M对应的变换作用下得到点Q，求Q的坐标．高考帮——帮你实现大学梦想！5/212015-2016学年江苏省常州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．设复数z满足（z+i）（2+i）=5（i为虚数单位），则z=2﹣2i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（z+i）（2+i）=5，得z+i=，∴z=2﹣2i．故答案为：2﹣2i．2．设全集U={1，2，3，4}，集合A={1，3}，B={2，3}，则B∩∁UA={2}．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出（∁UA），再根据交集的运算法则计算即可【解答】解：∵全集U={1，2，3，4}，集合A={1，3}，∴（∁UA）={2，4}∵B={2，3}，∴（∁UA）∩B={2}故答为：{2}3．某地区有高中学校10所、初中学校30所，小学学校60所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取20所学校对学生进行体质健康检查，则应抽取初中学校6所．【考点】分层抽样方法．【分析】从100所学校抽取20所学校做样本，样本容量与总体的个数的比为1：5，得到每个个体被抽到的概率，即可得到结果．【解答】解：某城地区有学校10+30+60=100所，现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取20所，每个个体被抽到的概率是=，∴用分层抽样进行抽样，应该选取初中学校×30=6人．故答案为：6．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点P（1，﹣2），则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．高考帮——帮你实现大学梦想！6/21【分析】根据双曲线的渐近线过点P，建立a，b，c的关系，结合离心率的公式进行求解即可．【解答】解：焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，∵一条渐近线经过点P（1，﹣2），∴点P（1，﹣2）在直线y=﹣x，即=2，则b=2a，则c2=a2+b2=5a2，即c=a，则双曲线的离心率e===，故答案为：5．函数f（x）=log2（﹣x2+2）的值域为（﹣∞，]．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据对数函数以及二次函数的性质解答即可．【解答】解：∵0＜﹣x2+2≤2，∴x=0时，f（x）最大，f（x）最大值=f（0）==，故答案为：（﹣∞，]．6．某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，则选出的学生中男女生都有的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，由选出的学生中男女生都有的对立事件是选出的3名学生都是女生，由此利用对立事件概率计算公式能求出选出的学生中男女生都有的概率．【解答】解：某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，基本事件总数n==10，选出的学生中男女生都有的对立事件是选出的3名学生都是女生，∴选出的学生中男女生都有的概率为p=1﹣=1﹣=．故答案为：．高考帮——帮你实现大学梦想！7/217．如图所示的流程图中，输出S的值是【考点】程序框图．【分析】运行流程图，写出每次i＜1026成立时S，k的值，当k=2016，k＜1026不成立，退出循环，输出S的值为．【解答】解：运行如图所示的流程图，有S=3，k=1，k＜1026成立，S=，k=2k＜1026成立，S=，k=3k＜1026成立，S=3，k=4…观察规律可得S的取值周期为3，由于2016=672×3，所以：k＜1026成立，S=，k=2016k＜1026不成立，退出循环，输出S的值为．故答案为：．8．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2，锐角为60°的菱形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=3，若点M是BC的中点，则三棱锥M﹣PAD的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由AD∥BC可知S△ADM=S△ABD，则VM﹣PAD=VP﹣ADM=．【解答】解：∵底面ABCD是边长为2，锐角为60°的菱形，S△ADM=S△ADB==，∵PA⊥底面ABCD，高考帮——帮你实现大学梦想！8/21∴VM﹣PAD=VP﹣ADM==．故答案为．9．已知实数x，y满足，则2x+y的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），令z=2x+y，得y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为．高考帮——帮你实现大学梦想！9/21故答案为：．10．已知平面向量，，x∈R，若，则||=2．【考点】向量的模．【分析】根据向量的垂直关系求出，，从而求出||即可．【解答】解：平面向量，，x∈R，若，则4x+2x﹣2=0，解得：2x=1，∴=（1，1），=（1，﹣1）∴﹣=（0，﹣2），∴||=2，故答案为：2．11．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1+a2=，a3+a4+a5+a6=40．则的值为117．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a2=，a3+a4+a5+a6=40．∴，解得a1=，q=3．则===117．故答案为：117．12．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=AB=4，CD=1，动点P在边BC上，且满足（m，n均为正实数），则的最小值为．高考帮——帮你实现大学梦想！10/21【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】假设=λ，用表示出，使用平面向量的基本定理得出m，n与λ的关系，得到关于λ的函数，求出函数的最值．【解答】解：=，==﹣+，设=λ=﹣+λ（0≤λ≤1），则==（1﹣）+λ．∵，∴m=1﹣，n=λ．∴===≥=．当且仅当3（λ+4）=即（λ+4）2=时取等号．故答案为：．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x﹣4）2+y2=4，动点P在直线x+y﹣b=0上，过P分别作圆O，O1的切线，且点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是﹣＜b＜4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出P的轨迹方程，动点P在直线x+y﹣b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，转化为直线与圆x2+y2+x﹣=0相交，即可求出实数b的取值范围．【解答】解：由题意O（0，0），O1（4，0）．设P（x，y），则∵PB=2PA，∴（x﹣4）2+y2=4（x2+y2），∴x2+y2+x﹣=0，高考帮——帮你实现大学梦想！11/21圆心坐标为（﹣，0），半径为，∵动点P在直线x+y﹣b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，∴直线与圆x2+y2+x﹣=0相交，∴圆心到直线的距离d=＜，∴﹣﹣＜b＜﹣+故答案为：﹣＜b＜4．14．已知函数f（x）=若不等式f（x）≥kx，对x∈R恒成立，则实数k的取值范围是﹣3≤k≤e2．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据分段函数的表达式，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．【解答】解：当x=0时，不等式f（x）≥kx等价为0≥0成立，当x＜0时，由f（x）≥kx得2x2