江苏苏北四市高三第二次调研测试数学

高考帮——帮你实现大学梦想！1/12苏北四市2016-2017学年度高三年级第二次调研测试数学I试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、已知集合2,0,2,3AB，则AB．2、已知复数z满足(1)2izi，其中i为虚数单位，则z的模为．3、某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个分数的方差为．4、根据如图所示的伪代码，则输出S的值为．5、从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为．6、若抛物线28yx的焦点恰好是双曲线2221(0)3xyaa的右焦点，则实数a的值为．7、已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为．8、若函数()sin()(0)6fxx的最小正周期为15，则1()3f的值为．9、已知等比数列na的前n项和为nS，若223323,23SaSa，则公比q的值为．3442465280S1IWhile5I≤1IISSIEndWhliePrintS高考帮——帮你实现大学梦想！2/1210、已知函数()fx是定义R在上的奇函数，当0x时，()23xfx，则不等式()5fx≤的解集为．11、若实数,xy满足133(0)2xyxx，则313xy的最小值为．12、已知非零向量,ab满足abab，则a与2ab夹角的余弦值为．13、已知,AB是圆221:1Cxy上的动点，3AB，P是圆222:(3)(4)1Cxy上的动点，则PAPB的取值范围为．14、已知函数32sin,1()925,1xxfxxxxax≥，若函数()fx的图象与直线yx有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤）15、在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc．已知2cos(coscos)AbCcBa．（1）求角A的值；（2）若3cos5B，求sin()BC的值．16、如图，在四棱锥EABCD中，平面EAB平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EAEB，点,MN分别是,AECD的中点．求证：（1）直线MN∥平面EBC；（2）直线EA平面EBC．高考帮——帮你实现大学梦想！3/1217、如图，已知,AB两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1km处，3tan,44BANBCN．现计划铺设一条电缆联通,AB两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km、4万元∕km．（1）求,AB两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？18、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，且右焦点F到左准线的距离为62．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点高考帮——帮你实现大学梦想！4/12M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．（ⅰ）当直线的PA斜率为12时，求FMN的外接圆的方程；（ⅱ）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求APQ的面积的最大值．19、已知函数2(),()ln,2Rxfxaxgxxaxae．（1）解关于()Rxx的不等式()0fx≤；（2）证明：()()fxgx≥；（3）是否存在常数,ab，使得()()fxaxbgx≥≥对任意的0x恒成立？若存在，求出,ab的值；若不存在，请说明理由．20、已知正项数列na的前n项和为nS，且11,(1)(1)6()nnnaaaaSn，Nn．（1）求数列na的通项公式；（2）若对于Nn，都有(31)nSnn≤成立，求实数a取值范围；（3）当2a时，将数列na中的部分项按原来的顺序构成数列nb，且12ba，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列nb．高考帮——帮你实现大学梦想！5/12苏北四市2016-2017学年度高三年级第二次调研测试数学II(附加题)21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.【选修4-1:几何证明选讲】（本小题满分10分)如图，AB为半圆O的直径，D为弧BC的中点，E为BC的中点，求证：AB·BC=2AD·BD．B．【选修4-2:矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为a=，求实数a，b的值.C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l：2ρsin（θ一4）=m（m∈R），圆C的参数方程为（t为参数）．当圆心C到直线l的距离为2时，求m的值。D．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知a，b,c为正实数，的最小值为m，解关于x的不等式|x+l|-2xm．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22．（本小题满分10分）甲、乙、丙分别从A，B，C，D四道题中独立地选做两道题，其中甲必选B题．(1)求甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率；(2)设随机变量X表示D题被甲、乙、丙选做的次数，求X的概率分布和数学期望E(X)．23.（本小题满分10分）高考帮——帮你实现大学梦想！6/12已知等式．（1）求21(1)nx的展开式中含xn的项的系数，并化简：；(2)证明：．苏北四市2016—2017学年度高三年级第二次调研测试数学Ⅰ（必做题）参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．}3,0,2{2．23．144．205．316．17．5π8．129．210．(,3]11．812．571413．[7,13]14．{20,16}二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（1）由正弦定理可知，2cos(sincossincos)sinABCCBA，………………2分即2cossinsinAAA，因为(0,π)A，所以sin0A，所以2cos1A，即1cos2A，………………………………………………4分又(0,π)A，所以π3A．……………………………………………………6分（2）因为3cos5B，(0,π)B，所以24sin1cos5BB，…………………8分所以24sin22sincos25BBB，27cos212sin25BB，……………10分所以2π2πsin()sin[()]sin(2)33BCBBB2π2πsin2coscos2sin33BB………………………………12分24173()252252732450．…………………………………………………14分16．（1）取BE中点F，连结CF，MF，又M是AE的中点，所以12MFAB∥，又N是矩形ABCD边CD的中点，所以12NCAB∥，所以MFNC∥，高考帮——帮你实现大学梦想！7/12所以四边形MNCF是平行四边形，…4分所以MNCF∥，又MN平面EBC，CF平面EBC，所以MN∥平面EBC．………………………………………………………7分（2）在矩形ABCD中，ABBC，又平面EAB平面ABCD，平面ABCD平面ABEAB，BC平面ABCD，所以BC平面EAB，………………………………………………………10分又EA平面EAB，所以EABC，又EBEA，BCEBB，EB，BC平面EBC，所以EA平面EBC．………………………………………………………14分17．（1）过B作MN的垂线，垂足为D．在RtABD△中，3tantan4BDBADBANAD，所以43ADBD，在RtBCD△中，tantan1BDBCDBCNCD，所以CDBD．则41133ACADCDBDBDBD，即3BD，所以3CD，4AD，由勾股定理得，225ABADBD(km)．所以A，B两镇间的距离为5km．……………………………………………4分（2）方案①：沿线段AB在水下铺设时，总铺设费用为5420(万元)．………6分方案②：设BPD，则0π(,)2，其中0BAN，在RtBDP△中，3tantanBDDP，3sinsinBDBP，所以344tanAPDP．则总铺设费用为6122cos24886tansinsinAPBP．………8分设2cos()sinf，则222sin(2cos)cos12cos'()sinsinf，令'()0f，得π3，列表如下：0π(,)3π3ππ(,)32'()f0()f↘极小值↗高考帮——帮你实现大学梦想！8/12所以()f的最小值为π()33f．所以方案②的总铺设费用最小为863(万元)，此时43AP．……12分而86320，所以应选择方案②进行铺设，点P选在A的正西方向(43)km处，总铺设费用最低．…………………………………………………………………………14分18．（1）由题意，得22,262,caacc解得4,22,ac则22b，所以椭圆C的标准方程为221168xy．………………………………………4分（2）由题可设直线PA的方程为(4)ykx，0k，则(0,4)Mk，所以直线FN的方程为22(22)4yxk，则2(0,)Nk．(i)当直线PA的斜率为12，即12k时，(0,2)M，(0,4)N，(22,0)F，因为MFFN，所以圆心为(0,1)，半径为3，所以FMN△的外接圆的方程为22(1)9xy．……………………………8分(ii)联立22(4),1,168ykxxy消去y并整理得，2222(12)1632160kxkxk，解得14x或2224812kxk，所以222488(,)1212kkPkk，……………………10分直线AN的方程为1(4)2yxk，同理可得，222848(,)1212kkQkk，所以P，Q关于原点对称，即PQ过原点．所以APQ△的面积211632()28212122PQkSOAyykkk≤，……14分当且仅当12kk，即22k时，取“”．所以APQ△的面积的最大值为82．…………………………………………16分19．（1）当0a时，2()2exfx，所以()0fx≤的解集为{0}；当0a时，()()2exfxxa，若0a，则()0fx≤的解集为[0,2e]a；若0a，则()0fx≤的解集为[2e,0]a．综上所述，当0a时，()0fx≤的解集为{0}；当0a时，()0fx≤的解集为[0,2e]a；高考帮——帮你实现大学梦想！9/12当0a时，()0fx≤的解集为[2e,0]a．……………………4分（2）设2()()()ln2exhxfxgxx，则21e'()eexxhxxx．令'()0hx，得ex，列表如下：x(0,e)e(e,)'()hx0()hx↘极小值↗所以函数()hx的最小值为(e)0h，所以2()ln02exhxx≥，即()()fxgx≥．…………………………………8分（3）假设存在常数a，b使得()()fxaxbgx≥≥对任意的0x恒成立，即22ln2exaxbx≥≥对