河南省新乡市20182019学年高二上学期期末考试数学理试题解析版

河南省新乡市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“若a2=b2，则|a|=|b|”的逆命题为()A.若a2=b2，则|a|≠|b|B.若a2≠b2，则|a|≠|b|C.若|a|=|b|，则a2=b2D.若|a|≠|b|，则a2≠b2【答案】C【解析】解：根据逆命题的定义可知逆命题为“若|a|=|b|，则a2=b2”.故选：C．根据逆命题的定义写出它的逆命题即可．本题考查了逆命题的定义与应用问题，是基础题．2.在等差数列{an}中，a2+a9=12，a4=3，则a7=()A.8B.9C.11D.12【答案】B【解析】解：在等差数列{an}中，由a2+a9=12，得a4+a7=12，又a4=3，∴a7=12−3=9．故选：B．由已知结合等差数列的性质即可求解a7的值．本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础题．3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是边a，b，c，若a=3√3，c=2，A+C=π6，则b=()A.√13B.6C.7D.8【答案】C【解析】解：∵a=3√3，c=2，A+C=π6，∴B=π−(A+C)=5π6，∴由余弦定理可得：b=√a2+c2−2accosB=√27+4−2×3√3×2×(−√32)=√49=7．故选：C．由已知利用三角形内角和定理可求B的值，根据余弦定理可得b的值．本题主要考查了三角形内角和定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．4.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a0,b0)的实轴的长度比虚轴的长度大2，焦距为10，则双曲线的方程为()A.x216−y24=1B.x216−y29=1C.x29−y216=1D.x225−y29=1【答案】B【解析】解：依题意可得{2a−2b=2a2+b2=25ab，得{b=3a=4，所以双曲线的方程为x216−y29=1．故选：B．依题意可得{2a−2b=2a2+b2=25ab，得{b=3a=4，即可．本题考查了双曲线的方程，属于基础题．5.在三棱柱ABC−A1B1C1中，若AB⃗⃗⃗⃗⃗=a⃗,AC⃗⃗⃗⃗⃗=b⃗,AA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c，则C1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=()A.a⃗+b⃗−cB.−a⃗−b⃗+cC.−a⃗+b⃗−cD.a⃗−b⃗−c【答案】D【解析】解：如图，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗=a⃗,AC⃗⃗⃗⃗⃗=b⃗,AA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c；∴C1B1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=CB⃗⃗⃗⃗⃗=AB⃗⃗⃗⃗⃗−AC⃗⃗⃗⃗⃗=a⃗−b⃗，C1C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−AA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−c；∴C1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=C1B1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+C1C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a⃗−b⃗−c．故选：D．可画出三棱柱，结合图形即可求出C1B1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a⃗−b⃗,C1C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−c，这样根据向量加法的平行四边形法则即可求出C1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a⃗−b⃗−c．考查相等向量、相反向量的概念，向量减法的几何意义，向量加法的平行四边形法则，数形结合的解题方法．6.设x∈R，ab，若“a≤x≤b”是“x2+x−2≤0”的充分不必要条件，则b−a的取值范围为()A.(0,2)B.(0,2]C.(0,3)D.(0,3]【答案】C【解析】解：设A={x|a≤x≤b}，B={x|x2+x−2≤0}={x|−2≤x≤1}，由题意可得A⊊B，∴0b−a3．∴b−a的取值范围为(0,3)．故选：C．设A={x|a≤x≤b}，B={x|x2+x−2≤0}={x|−2≤x≤1}，根据“x2+x−2≤0”的充分不必要条件即可得出．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.设直线l的方向向量为a⃗，平面α的法向量为n⃗，l⊄α，则使l//α成立的是()A.a⃗=(1,−1,2)，n⃗=(−1,1，−2)B.a⃗=(2,−1,3)，n⃗=(−1,1，1)C.a⃗=(1,1，0)，n⃗=(2,−1,0)D.a⃗=(1,−2,1)，n⃗=(1,1，2)【答案】B【解析】解：∵直线l的方向向量为a⃗，平面α的法向量为n⃗，l⊄α，使l//α成立，∴a⃗⋅n⃗=0，在A中，a⃗⋅n⃗=−1−1−4=−6，故A错误；在B中，a⃗⋅n⃗=−2−1+3=0，故B成立；在C中，a⃗⋅n⃗=2−1=1，故C错误；在D中，a⃗⋅n⃗=1−2+2=1，故D错误．故选：B．由直线l的方向向量为a⃗，平面α的法向量为n⃗，l⊄α，使l//α成立，得到a⃗⋅n⃗=0，由此能求出结果．本题考查线面平行的判断与求法，考查直线的方向向量、平面的法向量等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．8.设x，y满足约束条件{y≥−13x+23y≤−2x−1y≤12x+4，则z=4x+y的最小值为()A.−3B.−5C.−14D.−16【答案】C【解析】解：作出x，y满足约束条件{y≥−13x+23y≤−2x−1y≤12x+4对应的平面区域如图：由z=4x+y得y=−4x+z，平移直线y=−4x+z，由图象可知当直线y=−4x+z经过点A时，直线y=−4x+z的截距最小，此时z最小，由{y=−13x+23y=12x+4，解得A(−4,2)，此时z=−16+2=−14，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．9.已知点F是抛物线y2=2px(p0)的焦点，点A(2,y1)、B(12,y2)分别是抛物线上位于第四象限的点，若|AF|=10，则△ABF的面积为()A.42B.30C.18D.14【答案】A【解析】解：∵|AF|=2+p2=10，∴p=16，则抛物线的方程为y2=32x，把x=12代入方程，得y=−4(y=4舍去)，即B(12,−4)．A(2,8)，则AB：y+48+4=x−122−12，即8x−y−8=0．设直线AB与x轴交于C点，已知C(1,0)，∴S△ABF=12(8−1)⋅|y1−y2|=42．故选：A．由已知求得p，得到抛物线方程，进一步求得B、A的坐标，得到AB方程，求出AB与x轴交点C，再由面积公式求解．本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10.已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，BC=2，AA1=4，E是侧棱CC1的中点，则直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为()A.13B.49C.59D.23【答案】B【解析】解：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，BC=2，AA1=4，E是侧棱CC1的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A(2,0，0)，E(0,1，2)，A1(2,0，4)，D(0,0，0)，EA⃗⃗⃗⃗⃗=(2,−1,−2)，DA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0，4)，DE⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1，2)，设平面A1ED的法向量为n⃗=(x,y，z)，则{n⃗⋅DA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2x+4z=0n⃗⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗=y+2z=0，取z=1，得n⃗=(−2,−2,1)，设直线AE与平面A1ED所成角为θ，则sinθ=|EA⃗⃗⃗⃗⃗⋅n⃗⃗||EA⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|n⃗⃗|=4√9⋅√9=49．∴直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为49．故选：B．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与平面A1ED所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为()A.√22B.12C.13D.14【答案】C【解析】解：可令F(−c,0)，由x=−c，可得y=±b√1−c2a2=±b2a，由题意可设P(−c,b2a)，B(a,0)，可得BP的方程为：y=−b2a(a+c)(x−a)，x=0时，y=b2a+c，E(0,b2a+c)，A(−a,0)，则AE的方程为：y=b2a(a+c)(x+a)，则M(−c,−b2(c−a)a(a+c))，M是线段QF的中点，可得2⋅(−b2(c−a)a(a+c))=b2a，即2a−2c=a+c，即a=3c，可得e=ca=13．故选：C．利用已知条件求出P的坐标，然后求解E的坐标，推出M的坐标，利用中点坐标公式得到双曲线的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12.设Sn是数列{an}的前n项和，若an+Sn=2n，则a100=()A.2100+2−993B.2100+2−1003C.2101+2−993D.2101+2−1003【答案】A【解析】解：当n=1时，a1+S1=2a1=2，即a1=1．当n≥2时，an−1+Sn−1=2n−1，则an−an−1+(Sn−Sn−1)=2n−2n−1=2n−1，即2an−an−1=2n−1，2nan−2n−1an−1=4n−1，从而2nan−2a1=4+42+⋯+4n−1=4n−43，即an=4n+23⋅2n，则an=4n+23⋅2n．a100=4100+23×2100=2100+2−993．故选：A．利用数列的递推关系式，求出数列的首项以及an−an−1+(Sn−Sn−1)=2n−2n−1=2n−1，求解数列的通项公式，然后求解a100．本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化首项以及计算能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设命题p：∀x∈[0,2π]，|sinx|≤1，则￢p为______．【答案】∃x0∈[0,2π]，|sinx0|1【解析】解：命题p：∀x∈[0,2π]，|sinx|≤1，￢p为.∃x0∈[0,2π]，|sinx0|1，故答案为：∃x0∈[0,2π]，|sinx0|1根据全称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案．本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全(特)称命题的否定方法是解答的关键．14.已知a3，则4a−3+a−316的最小值为______．【答案】1【解析】解：∵a3，∴a−30，∴4a−3+a−316≥2√4a−3⋅a−316=1，当且仅当4a−3=a−316，即a=11时取等号，故答案为：1根据基本不等式即可求出最小值．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=√2b，cosB=√2cosC，a=√3，则S△ABC=______．【答案】√22【解析】解：∵cosB=√2cosC，∴由余弦定理可得：a2+c2−b22ac=√2×a2+b2−c22ab，整理可得：3c2−3b2=a2，∵c=√2b，∴c2−b2=1，∵c=√2b，∴解得：b=1，c=√2，∴cosB=a2+c2−b22ac=3+2−12×√3×√2=√63，可得：sinB=√1−cos2B=√33，∴S△ABC=12acsinB=12×√3×√2×√33=√22．故答案为：√22．由已知利用余弦定理可求c2−b2=1，又c=√2b，可求b，c的值，根据余弦定理可求cosB，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交C的右支于A、B两点，AF1⊥AB，4|AF1|=3|AB|，则C的离心率为______．【答案】√102【解析】解：可设|AF1|=3t，t0，由4|AF1|=3|AB|可得|AB|=4