河南省洛阳市20182019学年第一学期期末考试高二数学试卷文解析版

河南省洛阳市2018-2019学年第一学期期末考试高二数学试卷（文）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知p：x2-x-2＜0，q：log2x＜1，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知变量x，y满足约束条件{𝑦≤𝑥𝑥+𝑦≤1𝑦≥−1，则z=2x+y的最大值是（）A.−3B.32C.3D.53.已知△ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若𝑐𝑎+𝑏+𝑎𝑏+𝑐=1，则B的大小为（）A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘4.已知椭圆𝑥225+𝑦29=1(𝑎＞𝑏＞0)的两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积等于（）A.6√3B.3√3C.6D.35.等差数列{an}中，a3+a10=5，a7=1，Sn是数列{an}的前n项和，则Sn的最大值为（）A.1B.19C.60D.706.点P是抛物线y=x2上任意一点，则点P到直线y=x-2的距离的最小值为（）A.9√28B.17√28C.7√28D.√287.已知函数f（x）的导函数为f'（x），若f（x）=x3+f'（1）x2-2，则f'（1）的值为（）A.−4B.−3C.−2D.08.等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q≠1，若a1=1，且对任意的n∈N*都有an+2+an+1=2an，则S5等于（）A.12B.20C.11D.219.△ABC中，B=30°，BC边上的高与BC的比为1：3√3，则cosA等于（）A.2√39B.−2√39C.5√1326D.−5√132610.已知双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0），过左焦点F1的直线切圆x2+y2=a2于点P，交双曲线C右支于点Q，若𝐹1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗，则双曲线C的渐近线方程为（）A.𝑦=±𝑥B.𝑦=±2𝑥C.𝑦=±12𝑥D.𝑦=±√32𝑥11.定义在R上的可导函数f（x）满足f'（x）+f（x）＜0，则下列各式一定成立的是（）A.𝑒2𝑓(2018)𝑓(2016)B.𝑒2𝑓(2018)𝑓(2016)C.𝑓(2018)𝑓(2016)D.𝑓(2018)𝑓(2016)12.过原点的一条直线与椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[𝜋12，𝜋4]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A.[√22,1)B.[√22,√63]C.[√63,1)D.[√22,√32]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.抛物线y=4x2的焦点坐标是______．14.曲线y=sin2x在点（0，0）处的切线方程为______．15.若函数f（x）=lnx-ax有两个不同的零点，则实数a的取值范围是______．16.化简：12√1+√2+13√2+2√3+……+1(𝑘+1)√𝑘+𝑘√𝑘+1+……+12019√2018+2018√2019=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题p：∃x0∈R，x02-ax0+a=0；命题q：不等式x+1𝑥−1≥a对∀x∈（1，+∞）恒成立，若（￢p）∧q真，求实数a的取值范围．18.数列{an}是等差数列，a1=f（x+1），a2=0，a3=f（x-1），其中f（x）=x2-4x+2．（1）求通项公式an；（2）若数列{an}为递增数列，令bn=an+1+an+2+an+3+an+4，求数列{1𝑏𝑛𝑏𝑛+1}的前n项和Sn．19.动圆P与圆F：（x-2）2+y2=1外切，且与直线x=-1相切．（1）求动圆的圆心P的轨迹C的方程；（2）轨迹C上是否存在两点A，B关于直线y=x-1对称？若有，请求出两点的坐标，若没有，请说明理由．20.在△ABC中，tanA=14，tanB=35．（1）求C的大小；（2）若△ABC的最小边长为√2，求△ABC的面积．21.已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）经过点（1，√32），且焦距为2√3．（1）求椭圆C方程；（2）椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△F2AB面积S的最大值并求出相应直线l的方程．22.已知定义在R上的函数f（x）=x3+（k-1）x2+（k+5）x-1．（1）若k=-5，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，3）内单调，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由题意可知p：x2-x-2＜0，即（x+1）（x-2）＜0，可得p：-1＜x＜2；q：log2x＜1，可得0＜x＜2，则p是q的必要不充分条件．故选：B．通过求解不等式求出p，解答对数不等式求解q，然后利用充要条件的判断方法判断即可．本题考查二次不等式的解法，对数不等式的求解，充要条件的判断，基本知识的应用．2.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为B，联立，解得B（2，-1）．代入目标函数z=2x+y得最大值为z=2×2-1=3．故选：C．由约束条件作出可行域，找到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3.【答案】B【解析】解：∵=1，∴整理可得：c2+a2-b2=ac，∴由余弦定理可得：cosB===，∵B∈（0°，180°），∴B=60°．故选：B．化简已知等式可得c2+a2-b2=ac，由余弦定理可得cosB=，结合范围B∈（0°，180°），利用特殊角的三角函数值可求B的值．本题主要考查了余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：如图所示，椭圆，可得a=5，b=3，c==4．设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=2a=10，在△F1PF2中，由余弦定理可得：（2c）2=m2+n2-2mncos60°，可得（m+n）2-3mn=64，即102-3mn=64，解得mn=12．∴△F1PF2的面积S=mnsin60°==3．故选：B．如图所示，椭圆，设|PF1|=m，|PF2|=n，m+n=2a=10，在△F1PF2中，由余弦定理可得：（2c）2=m2+n2-2mncos60°，联立解得mn，即可得出．本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：∵等差数列{an}中，a3+a10=5，a7=1，∴，解得a1=19，d=-3，∴an=19+（n-1）×（-3）=-3n+22．由an=-3n+22≥0，解得n≤，∴n=7时，Sn取最大值为S7=7a1+=7×19+21×（-3）=70．故选：D．利用等差数列通项公式求出a1=19，d=-3，从而an=-3n+22．由an=-3n+22≥0，解得n≤，n=7时，Sn取最大值，由此能求出结果．本题考查等差数列的前n项和的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：抛物线y=x2的焦点坐标（0，）如右图，设点P（a，b）；则由图象可知，以点P为切点的直线与y=x-2平行时，P到直线距离取得最小值，由y′=2x=1可得，x=，故点P（，）；点P到直线y=x-2的距离的最小值为：=．故选：C．利用抛物线的方程求解焦点坐标（0，1）；作图辅助，若使P到直线距离最小，则以点P为切点的直线与y=x-2平行，从而求出点P的坐标，从而求最小值．本题考查了圆锥曲线中的最值问题，同时考查了数形结合的思想及转化的思想，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：由f（x）=x3+f'（1）x2-2，得f′（x）=3x2+2xf′（1），∴f′（1）=3+2f′（1），解得f′（1）=-3．故选：B．求出原函数的导函数，在导函数解析式中取x=1即可得到答案．本题考查了导数的加法法则与减法法则，考查了基本初等函数的导函数，是基础的计算题．8.【答案】C【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，则由an+2+an+1-2an=0，得qn+1+qn-2qn-1=0，q2+q-2=0，q=-2，S5==11故选：C．设等比数列{an}的公比为q，根据通项公式可以得出q2+q-2=0，q=-2，再利用求和公式计算化简得出结果．本题考查等比数列的求和计算，方程思想，属于简单题．9.【答案】D【解析】解：如图，设AD=1，BC=3，∵B=30°，∴，CD=2．⇒AB=2，AC=，⇒cosα=，sin，cosβ=，sin．则cosA=cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=．故选：D．作出图形，利用两角和的余弦即可求得答案．本题考查解三角形中，作出图形，利用两角和的余弦求cosA是关键，也是亮点，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：∵过双曲线C：（a＞0，b＞0），左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为P，∴丨OP丨=a，设双曲线的右焦点为F′，∵P为线段FQ的中点，∴|QF′|=2a，|QF|=2b，由双曲线的定义知：2b-2a=2a，∴b=2a．∴双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay=0，即2ax±ay=0，∴2x±y=0．故选：B．由已知可得：丨OP丨=a，设双曲线的右焦点为F′，由P为线段FQ的中点，知|PF′|=2a，|QF|=2b，由双曲线的定义知：2b-2a=2a，由此能求出双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线方程．本题考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：根据题意，设g（x）=exf（x），其导数g′（x）=exf（x）+exf′（x）=ex[f（x）+f'（x）]，又由函数f（x）与其导函数f'（x）满足f（x）+f'（x）＜0，则有g′（x）＜0，则函数g（x）在R上为减函数，则有g（2018）＜g（2016），即e2018f（2018）＜e2016f（2016），即e2f（2018）＜f（2016），故选：A．根据题意，设g（x）=exf（x），对其求导可得g′（x）=ex[f（x）+f'（x）]，分析可得g′（x）＜0，则函数g（x）在R上为减函数，据此可得g（2018）＜g（2016），代入g（x）=exf（x）中分析可得答案．本题考查函数的导数与函数单调性的关系，注意结合导数的计算公式，构造函数g（x）．12.【答案】B【解析】解：如图，设椭圆的另一焦点为F1，连接AF1，AF2，BF1，则四边形AF2BF1为矩形，∴AB=F1F2=2c，∵AF2+BF2=2a，AF2=2c•sin∠ABF2，BF2=2c•cos∠ABF2，∴2c•sin∠ABF2+2c•cos∠ABF2=2a，得e==．∵∠ABF2∈[]，∴，则∈[]．则椭圆离心率的取值范围为[]．故选：B．由题意画出图形，可得四边形AF2BF1为矩形，则AB=F1F2=2c，结合AF2+BF2=2a，AF2=2c•sin∠ABF2，BF2=2c•cos∠ABF2，列式可得e关于∠ABF2的三角函数，利用辅助角公式化积后求解椭圆离心率的取值范围．本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，训练了三角函数最值的求法，是中档题．13.【答案】(0，116)【解析】解：由题意可知∴p=∴焦点坐标为故答案为先化简为标准方程，进而可得到p的值，即可确定答案．本题主要考查抛物线的性质．属基础题．14.【答案】2x-y=0【解析】解：∵y=sin2x，∴f'（x）=2cos2x，当x=0时，f'（0）=2得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线在点（0，0）处的切线方程为：y-0=2×（x-0），即y=2x．故答案为：2x-y=0．欲求曲线y=sin2x在点（0，0）处的切线