海淀区2014高三期中数学文试题及答案

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文科）2013.11本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合{1,0,1,2}A，{|1}Bxx，则AB(B)A.{2}B.{1,2}C.{1,2}D.{1,1,2}2.下列函数中，为奇函数的是(D)A.()fxxB.()lnfxxC.()2xfxD.()sinfxx3.已知向量(1,2),(,1)mab，且//ab，则实数m的值为(C)A.2B.12C.12D.24.“π6”是“1sin2”的（A）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知数列na的前n项和为nS，且*1110,3()nnaaanN，则nS取最小值时，n的值是（B）A.3B.4C.5D.66.若函数tan,0,()2(1)1,0xxfxaxx在π(,)2上单调递增，则实数a的取值范围(A)A.(0,1]B.(0,1)C.[1,)D.(0,)7.若函数()sinfxxkx存在极值，则实数k的取值范围是(A)A.(1,1)B.[0,1)C.(1,)D.(,1)8.已知点(1,0)B，P是函数exy图象上不同于(0,1)A的一点.有如下结论：①存在点P使得ABP是等腰三角形；②存在点P使得ABP是锐角三角形；③存在点P使得ABP是直角三角形.其中，正确的结论的个数为(B)A.0B.1C.2D.3二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。9.函数2yxx的定义域是____________.(,1][0,)10.已知105,lg2ab，则ab________.111.已知等差数列{}na的前n项和为nS，若334,3aS，则公差d___________.312.函数π()2sin()(0,||)2fxx的图象如图所示，则______________，__________.2π3,π613.向量,ABAC在正方形网格中的位置如图所示.设向量ACABa,若ABa，则实数__________.314.定义在(0,)上的函数()fx满足：①当[1,3)x时，1,12,()3,23,xxfxxx②(3)3()fxfx.（i）(6)f；（ii）若函数()()Fxfxa的零点从小到大依次记为12,,,,nxxx，则当(1,3)a时，12212nnxxxx_____________.答案：3；6(31)n三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.（本小题满分14分）已知函数2π()3cos22cos()14fxxx.（I）求()fx的最小正周期；CAB0.5222xyO（II）求()fx在区间ππ[,]32上的取值范围.解：（I）π()3cos2cos(2)2fxxx---------------------------------------2分3cos2sin2xx-------------------------------------------------4分π2sin(2)3x-------------------------------------------------6分()fx最小正周期为Tπ，-------------------------------------------------8分（II）因为ππ32x，所以ππ4π2333x--------------------------------------10分所以3πsin(2)123x---------------------------------------12分所以π32sin(2)23x，所以()fx取值范围为[3,2].---------------14分16.（本小题满分13分）在ABC中，60A，32,bc332ABCS.（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求sinB的值.解：（Ⅰ）由60A和332ABCS可得133sin6022bc,---------------------------2分所以6bc，--------------------------------------3分又32,bc所以2,3bc.------------------------------------5分（Ⅱ）因为2,3bc,60A,由余弦定理2222cosabcbcA可得------------------------------------7分2222367a，即7a.------------------------------------9分由正弦定理sinsinabAB可得72sinsin60B，---------------------------------12分所以21sin7B.------------------------------------13分17.（本小题满分13分）已知等比数列{}na满足31123,3aaaa.（I）求数列{}na的通项公式；（II）若21nnba，求数列{}nb的前n项和公式.解：（I）设等比数列{}na的公比为q，由313aa得21(1)3aq①----------------------------------2分由123aa得1(1)3aq②----------------------------------4分两式作比可得11q，所以2q，----------------------------------5分把2q代入②解得11a，----------------------------------6分所以12nna.----------------------------------7分（II）由（I）可得21141nnnba------------------------------8分易得数列1{4}n是公比为4的等比数列，由等比数列求和公式可得141(41)143nnnSnn.------------------------------13分18.（本小题满分13分）如图，已知点(11,0)A，函数1yx的图象上的动点P在x轴上的射影为H，且点H在点A的左侧.设||PHt，APH的面积为()ft.（I）求函数()ft的解析式及t的取值范围；（II）求函数()ft的最大值.解：（I）由已知可得1xt，所以点P的横坐标为21t,----------------------------2分因为点H在点A的左侧，所以2111t，即2323t.由已知0t，所以023t，-------------------------------------4分所以2211(1)12,AHtt所以APH的面积为21()(12),0232ftttt.---------------------------6分（II）233'()6(2)(2)22ftttt--------------------------7分由'()0ft，得2t（舍）,或2t.--------------------------8分函数()ft与'()ft在定义域上的情况如下：HAOPxyt(0,2)2(2,23)'()ft+0()ft↗极大值↘------------------------------------12分所以当2t时，函数()ft取得最大值8.------------------------------------13分19.（本小题满分14分）已知函数()lnfxxax（I）当1a时，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（II）求()fx的单调区间；（III）若函数()fx没有零点，求a的取值范围.解：（I）当1a时，()lnfxxx，1'()1(0)fxxx------------------------------1分(1)1f，'(1)2f-------------------------------3分所以切线方程为210xy--------------------------------5分（II）'()(0)xafxxx-----------------------------6分当0a时，在(0,)x时'()0fx，所以()fx的单调增区间是(0,)；-8分当0a时，函数()fx与'()fx在定义域上的情况如下：x(0,)aa(,)a'()fx0+()fx↘极小值↗------------------------------------10分（III）由（II）可知①当0a时，(0,)是函数()fx的单调增区间，且有11()1110aafee，(1)10f，所以，此时函数有零点，不符合题意；---------------11分②当0a时，函数()fx在定义域(0,)上没零点；--------------12分③当0a时，()fa是函数()fx的极小值，也是函数()fx的最小值，所以，当()(ln()1)0faaa，即ea时，函数()fx没有零点-------13分综上所述，当e0a时，()fx没有零点.-------------------14分20.（本小题满分13分）已知数列{}na的首项1,aa其中*aN，1,3,31,3.nnnnnaaaaa为的倍数不为的倍数令集合{|,=1,2,3}nAxxan，.（I）若4a，写出集合A中的所有的元素；（II）若2014a，且数列{}na中恰好存在连续的7项构成等比数列，求a的所有可能取值构成的集合；（III）求证：1A.解：（I）集合A的所有元素为：4,5,6,2,3,1..-------------------------------3分（II）不妨设成等比数列的这连续7项的第一项为ka，如果ka是3的倍数，则113kkaa；如果ka是被3除余1，则由递推关系可得22kkaa，所以2ka是3的倍数，所以3213kkaa；如果ka被3除余2，则由递推关系可得11kkaa，所以1ka是3的倍数，所以2113kkaa.所以，该7项的等比数列的公比为13.又因为*naN，所以这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于7项），设第7项为p，则p是被3除余1或余2的正整数，则可推得63kap因为67320143，所以63ka或623ka.由递推关系式可知，在该数列的前1k项中，满足小于2014的各项只有：1ka631,或6231,2ka632,或6232,所以首项a的所有可能取值的集合为{663,23,6631,231,6632,232}.-----------------------8分（III）若ka被3除余1，则由已知可得11kkaa,2312,(2)3kkkkaaaa；若ka被3除余2,则由已知可得11kkaa,21(1)3kkaa,31(1)13kkaa；若ka被3除余0，则由已知可得113kkaa,3123kkaa；所以3123kkaa，所以312(2)(3)3