福建省20182019学年福州市长乐高中城关中学文笔中学高一上学期期末联考数学试题

福建省福州市长乐高中、城关中学、文笔中学2018-2019学年高一上学期期末联考数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.计算sin105∘=()A.−√6−√24B.√6−√24C.−√6+√24D.√6+√24【答案】D【解析】解：sin105∘=sin(90∘+15∘)=cos15∘=cos(45∘−30∘)=(cos45∘cos30∘+sin45∘sin30∘)=√6+√24．故选：D．利用105∘=90∘+15∘，15∘=45∘−30∘化简三角函数使之成为特殊角的三角函数，然后求之．本题考查三角函数的诱导公式，是基础题．2.已知扇形面积为3𝜋8，半径是1，则扇形的圆心角是()A.3𝜋16B.3𝜋8C.3𝜋4D.3𝜋2【答案】C【解析】解：因为扇形面积为3𝜋8，半径是1，所以扇形的弧长为：3𝜋4，所以扇形的圆心角为：3𝜋4．故选：C．直接利用扇形面积公式，求出扇形的弧长，然后求出扇形的圆心角．本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，圆心角的求法，考查计算能力，常考题型．3.函数𝑦=sin(2𝑥+𝜑)(0≤𝜑≤𝜋)是R上的偶函数，则𝜑的值是()A.0B.𝜋4C.𝜋2D.𝜋【答案】C【解析】解：函数𝑦=sin(2𝑥+𝜑)是R上的偶函数，就是𝑥=0时函数取得最值，所以𝑓(0)=±1即sin𝜑=±1所以𝜑=𝑘𝜋+12𝜋(𝑘∈𝑍)，当且仅当取𝑘=0时，得𝜑=12𝜋，符合0≤𝜑≤𝜋故选：C．根据函数𝑦=sin(2𝑥+𝜑)的图象特征，若它是偶函数，只需要𝑥=0时，函数能取得最值．本题考查了正弦型函数的奇偶性，正弦函数的最值，是基础题．4.把−19𝜋4表示成2𝑘𝜋+𝜃(𝑘∈𝑍)的形式，且使𝜃∈(0,2𝜋)，则𝜃的值为()A.3𝜋4B.5𝜋4C.𝜋4D.7𝜋4【答案】B【解析】解：∵−19𝜋4=−24𝜋+5𝜋4=−6𝜋+5𝜋4，∴𝜃的值为5𝜋4．故选：B．由−19𝜋4=−24𝜋+5𝜋4=−6𝜋+5𝜋4得答案．本题考查终边相同角的概念，是基础题．5.已知正方形ABCD，E是DC的中点，且𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎⃗⃗,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏,⃗⃗⃗则𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=()A.𝑏⃗+12𝑎⃗⃗B.𝑏⃗−12𝑎⃗⃗C.𝑎⃗⃗+12𝑏⃗D.𝑎⃗⃗−12𝑏⃗【答案】B【解析】解：𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗2=𝑏⃗+−𝑎⃗⃗2=𝑏⃗−12𝑎⃗⃗，故选：B．利用正方形的性质可得：𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗2=𝑏⃗+−𝑎⃗⃗2，从而得到选项．本题考查两个向量的加法及其几何意义，以及相等的向量，属于基础题．6.若𝐴(3,−6)，𝐵(−5,2)，𝐶(6,𝑦)三点共线，则𝑦=()A.13B.−13C.9D.−9【答案】D【解析】解：由题意，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(−8,8)，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(3,𝑦+6)．∵𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗//𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，∴−8(𝑦+6)−24=0，∴𝑦=−9，故选：D．三点共线转化为具有公共点的向量共线，即可得出结论．本题考查三点共线，考查向量知识的运用，三点共线转化为具有公共点的向量共线是关键．7.|𝑎⃗⃗|=1，|𝑏⃗|=√2，𝑎⃗⃗⊥(𝑎⃗⃗−𝑏⃗)，𝑎⃗⃗和𝑏⃗的夹角大小为()A.300B.450C.750D.1350【答案】B【解析】解：由𝑎⃗⃗⊥(𝑎⃗⃗−𝑏⃗)，得𝑎⃗⃗⋅(𝑎⃗⃗−𝑏⃗)=0，即|𝑎⃗⃗||𝑏⃗|cos𝜃=𝑎⃗⃗2，又|𝑎⃗⃗|=1，|𝑏⃗|=√2，所以cos𝜃=√22，又𝜃∈[0∘,180∘]，即𝜃=45∘，故选：B．由向量的数量积公式得：𝑎⃗⃗⋅(𝑎⃗⃗−𝑏⃗)=0，即|𝑎⃗⃗||𝑏⃗|cos𝜃=𝑎⃗⃗2，又|𝑎⃗⃗|=1，|𝑏⃗|=√2，所以cos𝜃=√22，又𝜃∈[0∘,180∘]，可得解．本题考查了数量积表示两个向量的夹角，属简单题．8.𝑎⃗⃗=(8+12𝑥,𝑥)，𝑏⃗=(𝑥+1,2)(其中𝑥0)，若𝑎⃗⃗//𝑏⃗，则x的值为()A.8B.4C.2D.0【答案】B【解析】解：∵𝑎⃗⃗//𝑏⃗，且𝑥0；∴2(8+12𝑥)−𝑥(𝑥+1)=0；解得𝑥=4，或𝑥=−4(舍去)．故选：B．根据𝑎⃗⃗//𝑏⃗即可得出2(8+12𝑥)−𝑥(𝑥+1)=0，再根据𝑥0，即可解出x的值．考查向量坐标的定义，以及向量平行时的坐标关系．9.下列四式中不能化简为𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗的是()A.(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗B.(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+(𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗)C.(𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗)−𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.(𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗)+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗【答案】C【解析】解：由题意得A：(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，B：(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+(𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+0⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，C：(𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗)−𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以C不能化简为𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，D：(𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗)+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，故选：C．由题意得A：(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，B：(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+(𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，C：(𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗)−𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，D：(𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗)+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗；由以上可得只有C答案符合题意．解决本题的关键是熟练掌握数列的运算性质．10.要得到函数𝑦=cos(2𝑥+1)的图象，只要将函数𝑦=cos2𝑥的图象()A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位C.向左平移12个单位D.向右平移12个单位【答案】C【解析】解：因为函数𝑦=cos(2𝑥+1)=cos[2(𝑥+12)]，所以要得到函数𝑦=cos(2𝑥+1)的图象，只要将函数𝑦=cos2𝑥的图象向左平移12个单位．故选：C．化简函数𝑦=cos(2𝑥+1)，然后直接利用平移原则，推出平移的单位与方向即可．本题考查三角函数的图象的平移变换，注意平移时x的系数必须是“1”．11.在△𝐴𝐵𝐶中，下列结论错误的是()A.sin(𝐴+𝐵)=sin𝐶B.sin𝐵+𝐶2=cos𝐴2C.tan(𝐴+𝐵)=−tan𝐶(𝐶≠𝜋2)D.cos(𝐴+𝐵)=cos𝐶【答案】D【解析】解：在△𝐴𝐵𝐶中，有𝐴+𝐵+𝐶=𝜋．则sin(𝐴+𝐵)=sin(𝜋−𝐶)=sin𝐶；sin𝐵+𝐶2=sin(𝜋2−𝐴2)=cos𝐴2；tan(𝐴+𝐵)=tan(𝜋−𝐶)=−tan𝐶(𝐶≠𝜋2)；cos(𝐴+𝐵)=cos(𝜋−𝐶)=−cos𝐶．∴错误的是D．故选：D．由𝐴+𝐵+𝐶=𝜋，利用诱导公式逐一分析四个选项得答案．本题考查三角函数的诱导公式的应用，是基础题．12.若函数𝑓(𝑥)=sin𝜔𝑥(𝜔0)在区间(0,2𝜋3)上单调递增，且𝑓(2𝜋3)𝑓(5𝜋6)，则𝜔的一个可能值是()A.12B.35C.34D.32【答案】C【解析】解：∵函数𝑓(𝑥)=sin𝜔𝑥(𝜔0)在区间(0,2𝜋3)上单调递增，∴14⋅2𝜋𝜔≥2𝜋3，∴𝜔≤34．又𝑓(2𝜋3)𝑓(5𝜋6)，∴|𝜔⋅2𝜋3−𝜋2||𝜔⋅5𝜋6−𝜋2|，即𝜋2−𝜔⋅2𝜋3𝜔⋅5𝜋6−𝜋2，解得𝜔23．故𝜔的范围为(23,34]，故选：C．由题意利用正弦函数的单调性，求得𝜔的取值范围．本题主要考查正弦函数的单调性，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数𝑦=tan(2𝑥+𝜋3)的定义域是______．【答案】{𝑥|𝑥≠𝑘𝜋2+𝜋12,𝑘∈𝑍}【解析】解：由𝑦=tan𝑥的定义域为{𝑥|𝑥≠𝑘𝜋+𝜋2,𝑘∈𝑍}，令2𝑥+𝜋3≠𝑘𝜋+𝜋2，则𝑥≠𝑘𝜋2+𝜋12，则定义域为{𝑥|𝑥≠𝑘𝜋2+𝜋12,𝑘∈𝑍}，故答案为：{𝑥|𝑥≠𝑘𝜋2+𝜋12,𝑘∈𝑍}．由𝑦=tan𝑥的定义域为{𝑥|𝑥≠𝑘𝜋+𝜋2,𝑘∈𝑍}，令2𝑥+𝜋3≠𝑘𝜋+𝜋2，解出即可得到定义域．本题考查正切函数的定义域及运用，考查基本的运算能力，属于基础题．14.在边长为2的等边三角形ABC中，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则向量𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗在𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗上的投影为______．【答案】−【解析】解：∵𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∴𝐷为BC的中点，∴𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)，∴𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=−2+2×2×cos120∘=−3，|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12√𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗2+2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=12√4+4+2×2×2×12=√3，则向量𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗在𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗上的投影为𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=−3√3=−√3，故答案为：−√3．由已知可得，D为BC的中点，然后结合向量的基本定理及向量的数量积的性质即可求解．本题主要考查了平面向量的基本定理及向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．15.化简：cos50∘(√3−tan10∘)=______．【答案】1【解析】解：cos50∘(√3−tan10∘)=cos50∘(√3−sin10∘cos10∘)=cos50∘⋅√3cos10∘−sin10∘cos10∘=cos50∘⋅2cos40∘cos10∘=2sin40∘cos40∘cos10∘=sin80∘cos10∘=1．故答案为：1．化切为弦，通分后利用两角和的余弦变形，再由倍角公式化简得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角和的余弦，是基础题．16.函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥