第2章222第1课时同步练习高中数学练习试题

1高中数学人教A版选2-1同步练习1.椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为()A．(－1，0)，(1，0)B．(－6，0)，(6，0)C．(－6，0)，(6，0)D．(0，－6)，(0，6)解析：选D.椭圆方程化为标准式y26＋x2＝1，∴a2＝6，且焦点在y轴上．∴长轴端点坐标为(0，－6)，(0，6)．2.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是()A.x2144＋y2128＝1B.x236＋y220＝1C.x232＋y236＝1D.x236＋y232＝1解析：选D.由2a＝12，ca＝13，解得a＝6，c＝2，∴b2＝62－22＝32.∵焦点在x轴上，∴椭圆的方程为x236＋y232＝1.3.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)与椭圆x225＋y216＝1有相同的长轴，椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的短轴长与椭圆y221＋x29＝1的短轴长相等，则椭圆方程为__________．答案：x225＋y29＝14.离心率e＝12，一个焦点是F(0，－3)的椭圆标准方程为__________．解析：依题意ca＝12，c＝3，所以a＝6，b＝27，焦点在y轴上，所以椭圆标准方程为y236＋x227＝1.答案：y236＋x227＝1[A级基础达标]1.(2012·福州质检)如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍，那么这个椭圆的离心率为()A.54B.32C.22D.12解析：选B.因长轴是短轴的2倍，则a＝2b.所以e＝a2－b2a＝3b2b＝32.2.椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A.14B.122C．2D．4解析：选A.将原方程化为标准形式为x21＋y21m＝1，由焦点在y轴上可得1m1，∴0m1，又知长轴长为短轴长的两倍，则1m＝4，得m＝14.3.曲线x225＋y29＝1与曲线x225－k＋y29－k＝1(k9)的()A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：选D.由题意可知两个椭圆的焦点都在x轴上，前者焦距2c＝225－9＝8，后者焦距2c＝2（25－k）－（9－k）＝8.4.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________．解析：依题意得椭圆的焦点坐标为(0，5)，(0，－5)，故c＝5，又2b＝45，所以b＝25，a2＝b2＋c2＝25.答案：x220＋y225＝15.若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．解析：依题意，得b＝3，a－c＝1.又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，∴椭圆的离心率为e＝ca＝45.答案：456.求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆过(3，0)，离心率e＝63；(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.解：(1)若焦点在x轴上，则a＝3，∵e＝ca＝63，∴c＝6，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为x29＋y23＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，∵e＝ca＝1－b2a2＝1－9a2＝63，解得a2＝27.∴椭圆的方程为y227＋x29＝1.(2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，故所求椭圆的方程为x232＋y216＝1.[B级能力提升]7.若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为()A.22B.323C.53D.63解析：选A.如图所示，四边形B1F2B2F1为正方形，则△B2OF2为等腰直角三角形，∴ca＝22.8.椭圆x2a2＋y2＝1(a4)的离心率的取值范围是()A.0，1516B.0，154C.1516，1D.154，1解析：选D.e＝ca＝a2－1a＝1－1a2.∵a4，∴01a2116，∴154e1.9.已知椭圆短轴的一个端点为B，F1、F2是椭圆的两个焦点，且△BF1F2是周长为18的正三角形，则椭圆的标准方程是__________．解析：由题意知a＝2c，2a＋2c＝18，解方程组a＝2c，a＋c＝9，得a＝6，c＝3，∴b2＝a2－c2＝27，∴所求的椭圆的标准方程为x236＋y227＝1或y236＋x227＝1.答案：x236＋y227＝1或y236＋x227＝110.椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且经过点A－1，32.(1)求满足条件的椭圆方程；(2)求该椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率．解：(1)由已知焦点在x轴上，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则c＝1.焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，2a＝|AF1|＋|AF2|＝（－1＋1）2＋322＋（1＋1）2＋322＝4，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)顶点坐标为(±2，0)，(0，±3)；长轴长为4；短轴长为23；离心率e＝12.11.(创新题)如图，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.若AF2→＝2F2B→，AF1→·AB→＝32，求椭圆的方程．解：由题意知A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，4其中，c＝a2－b2，设B(x，y)．由AF2→＝2F2B→⇔(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝3c2，y＝－b2，即B3c2，－b2.将B点坐标代入x2a2＋y2b2＝1，得94c2a2＋b24b2＝1，即9c24a2＋14＝1，解得a2＝3c2.①由AF1→·AB→＝32知：(－c，－b)·3c2，－3b2＝32∴b2－c2＝1.②又a2＝b2＋c2，③解①②③组成的方程组得：a2＝3，b2＝2.∴所求椭圆的方程为：x23＋y22＝1.