第2章231同步训练及解析高中数学练习试题

1人教A高中数学选修2-3同步训练1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的期望是()A．0.2B．0.8C．1D．0解析：选B.因为P(ξ＝1)＝0.8，P(ξ＝0)＝0.2，所以E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.2．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为()A．0.6B．1C．3.5D．2解析：选C.抛掷骰子所得点数ξ的分布列为ξ123456P161616161616所以，E(ξ)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×16＝3.5.3．设ξ为离散型随机变量，则E(E(ξ)－ξ)＝()A．0B．1C．2D．不确定解析：选A.∵E(ξ)是常数，∴E(E(ξ)－ξ)＝E(ξ)－E(ξ)＝0.4．随机变量X的分布列为X135P0.50.30.2则E(X)＝________.解析：由均值的定义有E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.答案：2.4一、选择题1．若X的分布列为X01P15a，则E(X)＝()A.45B.12C.25D.15解析：选A.由题意知15＋a＝1，E(X)＝0×15＋a＝a＝45.2．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若ξ表示取到次品的个数，则E(ξ)等于()A.35B.815C.1415D．1解析：选A.ξ的分布列为ξ012P7157151152∴E(ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.3．已知ξ～Bn，12，η～B(n，13)，且E(ξ)＝15，则E(η)等于()A．5B．10C．15D．20解析：选B.E(ξ)＝12n＝15，∴n＝30，∴η～B30，13，∴E(η)＝30×13＝10.4．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球的命中率是0.7，则他罚球6次的总得分的均值是()A．0.70B．6C．4.2D．0.42解析：选C.得分X～B(6,0.7)，E(X)＝6×0.7＝4.2.5．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如下表，则m的值为()X1234P14mn112A.13B.14C.16D.18解析：选A.由Y＝12X＋7，则E(Y)＝12E(X)＋7＝34，从而E(X)＝94，∴E(X)＝1×14＋2×m＋3×n＋4×112＝94，又m＋n＋112＋14＝1，联立求解得m＝13.6．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为23，则此人试验次数ξ的期望是()A.43B.139C.53D.137解析：选B.试验次数ξ的可能取值为1,2,3，P(ξ＝1)＝23，P(ξ＝2)＝13×23＝29，P(ξ＝3)＝13×13×23＋13＝19.所以ξ的分布列为ξ123P232919所以E(ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.二、填空题7．已知随机变量ξ的分布列为ξ012343P0.10.20.3x0.1则x＝________，P(1≤ξ3)＝________，E(ξ)＝________.解析：x＝1－(0.1＋0.2＋0.3＋0.1)＝0.3，P(1≤ξ3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝0.2＋0.3＝0.5，E(ξ)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.1＝2.1.答案：0.30.52.18．设离散型随机变量ξ可能的取值为1,2,3,4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，又ξ的数学期望E(ξ)＝3，则a＋b＝________.解析：∵E(ξ)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3，又a＋b＋2a＋b＋3a＋b＋4a＋b＝1，即10a＋4b＝1，解得：a＝110，b＝0，∴a＋b＝110.答案：1109．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．解析：∵种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1000,0.1)，∴E(ξ)＝1000×0.1＝100，故需补种的期望为2E(ξ)＝200.答案：200三、解答题10．某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取，假设任一客户去领奖的概率为4%.问：寻呼台能否向每一位顾客都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少份礼品？解：设来领奖的人数ξ＝k(k＝0,1,2，…，3000)，所以P(ξ＝k)＝Ck3000·0.04k·(1－0.04)3000－k，可见ξ～B(3000，0.04)，所以E(ξ)＝3000×0.04＝120(人)100(人)．所以不能向每一位顾客都发出领奖邀请，寻呼台至少应准备120份礼品，才能使每一位领奖人都得到礼品．11．某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全部命中奖励40元；命中4发不奖励，也不必付款；命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为0.5.(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率；(2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值.解：(1)设5发子弹命中ξ(ξ＝0,1,2,3,4,5)发，则由题意有P(ξ＝5)＝C550.55＝132.(2)ξ的分布列为ξ012345P13253210321032532132设游客在一次游戏中获得奖金为X元，于是X的分布列为X－2040P2632532132故该游客在一次游戏中获得奖金的均值：E(X)＝(－2)×2632＋0×532＋40×132＝－40.375(元)．12．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球2次均未命中的概率为116.(1)求乙投球的命中率p；(2)若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解：(1)设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B.由题意得[1－P(B)]2＝(1－p)2＝116，解得p＝34或p＝54(舍去)，所以乙投球的命中率为34.(2)由题设和(1)知P(A)＝12，P(A)＝12，P(B)＝34，P(B)＝14.ξ可能的取值为0,1,2,3，故P(ξ＝0)＝P(A)P(BB)＝12×142＝132，P(ξ＝1)＝P(A)P(BB)＋C12P(B)P(B)P(A)＝12×142＋2×34×14×12＝732，P(ξ＝3)＝P(A)P(BB)＝12×342＝932，P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝1532.故ξ的分布列为ξ0123P1327321532932ξ的数学期望E(ξ)＝0×132＋1×732＋2×1532＋3×932＝2.