第3章31同步训练及解析高中数学练习试题

1人教A高中数学选修2-3同步训练1．下列关于残差的叙述正确的是()A．残差就是随机误差B．残差就是方差C．残差都是正数D．残差可用来判断模型拟合的效果解析：选D.由残差的相关知识可知．2．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是()A.y^＝－10x＋200B.y^＝10x＋200C.y^＝－10x－200D.y^＝10x－200解析：选A.由于销售量y与销售价格x成负相关，故排除B、D.又当x＝10时，A中y＝100，而C中y＝－300，C不符合题意，故选A.3．如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是()A．①②B．①③C．②③D．③④解析：选B.图①是正相关线性最强，图③是负相关线性最强，②④散点图的点较分散．4．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y^＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：由题意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254.答案：0.254一、选择题1．下列各关系中是相关关系的是()①路程与时间、速度的关系；②加速度与力的关系；③产品成本与产量的关系；④圆周长与圆面积的关系；⑤广告费支出与销售额的关系．A．①②④B．①③⑤C．③⑤D．③④⑤解析：选C.①②④都是确定的函数关系．2．能表示n个点与相应直线在整体上的接近程度的是()A.i＝1n(yi－y^i)B.i＝1n(y^i－yi)C.i＝1n(yi－y^i)2D.i＝1n(yi－y)2解析：选C.残差平方和表示接近程度．23．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则下列说法中不正确的是()A．由样本数据得到的回归方程y^＝b^x＋a^必过样本点的中心(x，y)B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好D．若变量y和x之间的相关系数r＝－0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系解析：选C.R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，故选C.4．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel软件计算得y^＝0.577x－0.448(x为人的年龄，y(单位：%)为人体脂肪含量)．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是()A．年龄为37岁的人体内脂肪含量都为20.90%B．年龄为37岁的人体内脂肪含量为21.01%C．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%D．年龄为37岁的大部分的人体内脂肪含量为31.50%解析：选C.当x＝37时，y^＝0.577×37－0.448＝20.901≈20.90，由此估计：年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%.5．在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,4)，D(4,5)，则y与x间的线性回归方程为()A.y^＝x＋1B.y^＝x＋2C.y^＝2x＋1D.y^＝x－1解析：选A.由题意可知变量y与x成线性相关关系，且斜率k＝1，代入点(1,2)，即可得出线性回归方程y^＝x＋1.6．有下列数据x123y35.9912.01下列四个函数中，模拟效果最好的为()A．y＝3×2x－1B．y＝log2xC．y＝3xD．y＝x2解析：选A.当x＝1,2,3，代入求y值，求最接近y的值．二、填空题7．对具有线性相关关系的变量x和y，由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为________．解析：由题意知x＝2，y＝3，b^＝6.5，所以a^＝y－b^x＝3－6.5×2＝－10，即回归直线的方程为y^＝－10＋6.5x.答案：y^＝－10＋6.5x8．如图是x和y的一组样本数据的散点图，去掉一组数据________后，剩下的4组数据的相关指数最大．解析：经计算，去掉D(3,10)这一组数据后，其他4组数据对应的点都集中在某一条直线附近，即两变量的线性相关性最强，此时相关指数最大．3答案：D(3,10)9．为了考察两个变量y与x的线性相关性，测得x，y的13对数据，若y与x具有线性相关关系，则相关指数R2的取值范围是________．解析：相关指数R2＝1－i＝1nyi－y^i2i＝1nyi－y2.R2的取值范围是[0,1]．当R2＝0时，即残差平方和等于总偏差平方和，解释变量效应为0，x与y没有任何关系；当R2＝1时，即残差平方和为0，x与y之间是确定的函数关系；其他情形，即当x与y是不确定的相关关系时，R2∈(0,1)．答案：(0,1)三、解答题10．对两个变量x，y取得4组数据(1,1)，(2,1.2)，(3,1.3)，(4,1.37)，甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下：甲y＝0.1x＋1，乙y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，丙y＝－0.8·0.5x＋1.4，试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际．解：对甲模型：残差平方和i＝14(yi－y^i)2＝0.0109；对乙模型：残差平方和i＝14(yi－y^i)2＝0.0049；对丙模型：残差平方和i＝14(yi－y^i)2＝0.0004.显然丙的残差平方和最小，故丙模型更接近于客观实际．11．关于x与y有如下数据：x24568y3040605070有如下的两个线性模型：①y^＝6.5x＋17.5；②y^＝7x＋17.试比较哪一个拟合效果更好．解：由①可得yi－y^i与yi－y的关系如下表：yi－y^i－0.5－3.510－6.50.5yi－y－20－1010020所以i＝15(yi－y^i)2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52＝155，i＝15(yi－y)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1000.所以R21＝1－i＝15yi－y^i2i＝15yi－y2＝1－1551000＝0.845.4由②可得yi－y^i与yi－y的关系如下表：yi－y^i－1－58－9－3yi－y－20－1010020所以i＝15(yi－y^i)2＝(－1)2＋(－5)2＋82＋(－9)2＋(－3)2＝180，i＝15(yi－y)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1000.所以R22＝1－i＝15yi－y^i2i＝15yi－y2＝1－1801000＝0.82.由于R21＝0.845，R22＝0.82,0.8450.82，所以R21R22.故①的拟合效果好于②的拟合效果．12．为了研究某种细菌随时间x变化繁殖个数y的变化，收集数据如下时间x/天123456繁殖个数y612254995190(1)用时间作解释变量，繁殖个数作预报变量作出这些数据的散点图；(2)求y与x之间的回归方程；(3)计算残差，相关指数R2，并描述解释变量与预报变量之间的关系．解：(1)散点图如图所示：(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1ec2x的周围，于是令z＝lny，则x123456z1.792.483.223.894.555.25由计数器算得，相关系数r≈0.99990.75，所以z与x有很强的线性相关关系．因此得z^＝0.69x＋1.112，则有y^＝e0.69x＋1.112.(3)y^6.0612.0924.0948.0495.77190.9y612254995190i＝16e^2i＝i＝16(yi－y^i)2＝3.1643，i＝16(yi－y)2＝i＝16y2i－6y2≈24642.83，5R2＝1－3.164324642.83≈0.9999.即解释变量时间对预报变量繁殖细菌的个数解释了99.99%.