第五章平面向量提高测试题一

海量资源尽在星星文库：提高测试（一）（一）选择题（每题4分，共24分）1．如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，以图中各点为端点的有向线段所表示的向量中，与EF的向量最多有（）．（A）3个（B）4个（C）6个（D）7个【提示】据已知，与EF共线的向量有FE，BD，DB，DC，CD，BC，CB．【答案】（D）．【提示】本题考查共线向量的概念．注意两个共线向量的方向可以相同，也可以不同．2．已知向量a＝（1，2），b＝（3，1），c＝（11，7）．若c＝ka＋lb，则k、l的值为（）．（A）－2，3（B）－2，－3（C）2，－3（D）2，3【提示】据已知，有（11，7）＝k（1，2）＋l（3，1），可得关于k，l的二元方程组72113lklk解之即可．【答案】（D）．【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，以及向量相等的充要条件．3．已知四边形ABCD的四个顶点坐标分别是A（1，2），B（4，0），C（8，6），D（5，8），有下面四个结论：①四边形ABCD是平行四边形②四边形ABCD是矩形③四边形ABCD是菱形④四边形ABCD是正方形其中正确的结论是（A）①②（B）①③（C）①②④（D）①③④海量资源尽在星星文库：【提示】由AB＝（3，－2），DC＝（3，－2），即AB＝DC，得四边形ABCD是平行四边形，结论①正确；又BC＝（4，6），得BC·AB＝12－12＝0，即BC⊥AB，□ABCD是矩形，结论②正确；而|AB|＝13，|BC|＝213，即|AB|≠|BC|，故结论③、④均不正确．【答案】（A）．【点评】本题考查向量的坐标运算，数量积，向量垂直的充要条件，两点间的距离公式．即利用向量的有关知识，判定平面图形的几何特征．通常情况下，对于任意四边形，利用向量共线，判断是否为梯形；利用向量相等，判断是否为平行四边形．对于平行四边形，再利用数量积为零，判断是否为矩形，利用相邻两边所表示向量的模的大小．判断是否为菱形．4．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（－1，－4），B（5，2），C（3，4），则角B等于（）．（A）90°（B）60°（C）45°（D）30°【提示一】可由已知顶点坐标，利用两点间距离求出三条边长，再用余弦定理求角B．由已知，可得AB＝22)]4(2[)]1(5[＝62，BC＝22)24()53(＝22，AC＝22)]4(4[)]1(3[＝45．由余弦定理，得cosB＝BCABACBCAB2222＝2226280872＝0．∴∠B＝90°．【提示二】海量资源尽在星星文库：利用向量知识，求角B，就是求向量BA与BC的夹角．由三个顶点的坐标，得BA＝（6，6），BC＝（－2，2）．|BA|＝62，|BC|＝22．∴cosB＝||||BCBABCBA＝222626)2(6＝0．得∠B＝90°．实际上，由BA·BC＝6×（－2）＋6×2＝0，便可知BA⊥BC，于是∠B＝90°．【答案】（A）．【点评】本题考查向量知识的灵活应用，以及解斜三角形的有关知识．考查运算能力，本题运用向量垂直的充要条件，由平面向量的坐标表示．求得角B等于90°，最为简捷．5．将函数y＝f（x）的图象按a＝（－2，3）平移后，得到的是函数y＝4224xx的图象，则y＝f（x）的表达式为（）．（A）y＝4224xx＋3（B）y＝12624xx＋3（C）y＝1624xx－3（D）y＝9624xx【提示】利用平移公式，设P（x，y）为y＝f（x）图象上任一点，按a＝（－2，3）平移后的坐标为P′(x′，y′)，则kyyhxx即．32yyxx据已知，点P′满足y′＝4x′2－2x′＋4，∴y＋3＝4)2(2)2(24xx，化简，得y＝12624xx－3．【答案】（C）．【点评】本题考查平移公式，应明确图象的平移实质上是图象上点的平移．6．在△ABC中，若A︰B︰C＝1︰1︰4，则a︰b︰c等于（）．（A）1︰1︰2（B）1︰1︰4海量资源尽在星星文库：（C）1︰1︰3（D）1︰1︰16【提示】将边之比转化为对应角的正弦函数之比，再由正弦定理可得．∵在△ABC中，A＋B＋C＝180°，由A︰B︰C＝1︰1︰4，可得A＝B＝30°，C＝120°．∴sinA＝sinB＝21，sinC＝23．由正弦定理，可知a︰b︰c＝sinA︰sinB︰sinC＝1︰1︰3．【答案】（C）．【点评】本题根据已知条件，把求边的比的问题转化为关于角的问题，考查了正弦定理的应用．（二）填空题（每题4分，共20分）1．化简a·[b（a·c）－c（a·b）]的结果是______．【提示】a·[b（a·c）－c（a·b）]＝a·b（a·c）－a·c（a·b）＝（a·c）（a·b）－（a·b）（a·c）＝0．【答案】0．【点评】本题考查平面向量数量积的运算律，注意数量积运算的结果为一个数．2．已知A（2，3），B（－1，5），且AC＝31AB，AD＝－41AB，则CD中点的坐标是________．【提示】要求CD中点的坐标，必先求得点C、D的坐标．∵A（2，3），B（－1，5）．海量资源尽在星星文库：∴AB＝（－3，2），∴AC＝31AB＝（－1，32）．则点C的坐标为（1，311）．又AD＝－41AB＝（43，－21）由点D的坐标为（411，25）代入中点坐标公式，得（24111，225311），即（815，1237）．【答案】（815，1237）．【点评】本题考查共线向量，向量的坐标运算及线段的定比分点的坐标公式．本题也可代入线段的定比分点的坐标公式．由AC＝31AB，得AC＝21CB，即点C分AB所成的比为21，可得点C的坐标；由AD＝－41AB，得AD＝－51DB，即点D分AB所成的比为－51，可得点D的坐标．3．在△ABC中，已知B＝135°，C＝15°，a＝5这个三角形的最大边长为______．【提示】由已知B＝135°为三角形中的最大角，其对边b为所求的最大边．先由已知的B＝135°，C＝15°，求得A＝180°－（B＋C）＝30°．再由正弦定理，得b＝ABasinsin＝30sin135sin5＝52．∴△ABC的最大边长为52．【答案】52．【点评】本题主要考查应用正弦定理解决三角形的有关问题．海量资源尽在星星文库：．把函数y＝2x2＋x＋3的图象C按a＝（3，－1）平移到C′，则C′的函数解析式为______．【提示】利用平移公式，设P（x，y）为函数y＝2x2＋x＋3图象C上的任一点，经a平移后，对应点P′（x′，y′）在C′上，则kyyhxx即．13ykyyxhxx代入C的方程，得y′＋1＝2(x′－3)2＋(x′－3)＋3．即y′＝2x′2－13x′＋17．【答案】y′＝2x2－13x＋17．【点评】本题考查平移公式，注意移图是在确定的坐标系xOy内进行的，习惯上将x′，y′仍写成x，y，于是C′的函数解析式为x，y的关系式．5．在△ABC中，B＝30°，AB＝23，S△ABC＝3，则AC的长等于_______．【提示】由已知，S△ABC＝21AB·BC·sinB＝21×23×BC·sin30°，得23BC＝3，于是BC＝2．代入余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝4．∴AC＝2．【答案】2．【点评】本题考查余弦定理的应用，在△ABC中，先由面积求出BC，问题转化为已知两边及一夹角．求第三边，应用余弦定理．（三）解答题（每小题14分，共56分）1．已知P为△ABC内一点，且3AP＋4BP＋5CP＝0．延长AP交BC于点D，若AB＝a，AC＝b，用a、b表示向量AP、AD．【提示】海量资源尽在星星文库：＝AP－AB，CP＝AP－AC，由已知3AP＋4BP＋5CP＝0，可以得到AP关于a、b的表达式，化简即可．对于AD，可利用AP与AD共线予以解决．【答案】∵BP＝AP－AB＝AP－a，CP＝AP－AC＝AP－b，又3AP＋4BP＋5CP＝0，∴3AP＋4（AP－a）＋5（AP－b）＝0，化简，得AP＝31a＋125b．设AD＝tAP（t∈R），则AD＝31ta＋125tb．①又设BD＝kBC（k∈R），由BC＝AC－AB＝b－a，得BD＝k（b－a）．而AD＝AB＋BD＝a＋BD，∴AD＝a＋k（b－a）＝（1－k）a＋kb②由①、②，得．ktkt125131解得t＝34．代入①，有AD＝94a＋95b．【点评】本题是以a、b为一组基底，寻求AP、AD关于a、b的线性分解式，主要考查了向海量资源尽在星星文库：量的加法．实数与向量的积及运算律，两个向量共线的充要条件，平面向量基本定理，求AD时，利用了以a、b为基底的AD的分解式是唯一确定的，这是求线性分解式常用的方法．2．在△ABC中，a＋b＝10，而cosC是方程2x2－3x－2＝0的一个根，求△ABC周长的最小值．【提示】三角形周长为a＋b＋c，而a＋b＝10已知，故求△ABC周长的最小值．就是求C的最小值，由方程的根可解得cosC的值，借助余弦定理得c与a（或b）的关系，再确定C的最小值．【答案】解方程2x2－3x－2＝0，得x＝2或x＝－21．∵|cosC|≤1，∴cosC＝－21．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2－b2＋ab＝(a＋b)2－ab，而a＋b＝10，∴c2＝100－a（10－a）＝a2－10a＋100＝(a－5)2＋75．∴当a＝5时，c有最小值75＝53．∴△ABC的周长为10＋53．【点评】本题综合考查余弦定理，二次函数的极值等内容．通过分析题目已知条件，将求三角形周长最小值问题转化为求c边的最小值问题．借助已知条件和余弦定理，建立了关于a的二次函数关系，利用二次函数最值的结论确定出c的最小值，使向量得解．在解决问题的过程也考查分析问题．解决问题的能力．