考前过关训练三

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。考前过关训练(三)柯西不等式、排序不等式与数学归纳法(35分钟60分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.函数y=2+的最大值为()A.B.-C.-3D.3【解析】选D.y=·+1·≤=3,当且仅当=,即x=0时,等号成立.2.已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,则a的最大值是()A.1B.2C.3D.4【解题指南】利用柯西不等式构建关于a的不等式求解.【解析】选B.由柯西不等式,得(2b2+3c2+6d2)≥(b+c+d)2,即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2,当且仅当==时等号成立.又b+c+d=3-a,2b2+3c2+6d2=5-a2,故5-a2≥(3-a)2,解得1≤a≤2,即a的最大值是2.3.一组实数为a1,a2,a3,设c1,c2,c3是另一组数b1,b2,b3的任意一个排列,则a1c1+a2c2+a3c3的()A.最大值为a1b1+a2b2+a3b3,最小值为a1b3+a2b2+a3b1B.最大值为a1b2+a2b3+a3b1,最小值为a1b3+a2b1+a3b2C.最大值与最小值相等为a1b1+a2b2+a3b3D.以上答案都不对【解析】选D.a1,a2,a3与b1,b2,b3的大小顺序不知,无法确定其最值.4.对于正整数n,下列说法不正确的是()A.3n≥1+2nB.0.9n≥1-0.1nC.0.9n1-0.1nD.0.1n≥1-0.9n【解析】选C.由贝努利不等式知,选项C不正确.5.(2016·菏泽高二检测)已知x+y+z=1,则2x2+3y2+z2的最小值为()A.B.C.D.【解析】选D.由柯西不等式得,(2x2+3y2+z2)≥(x+y+z)2=1,所以(2x2+3y2+z2)≥.6.(2016·苏州高二检测)已知x,y,z∈R+,且++=1,则x++的最小值为()A.5B.6C.8D.9【解析】选D.由柯西不等式,知≥(1+1+1)2=9,因为++=1,所以x++≥9.即x++的最小值为9.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知点P是边长为2的等边三角形内一点,它到三边的距离分别为x,y,z,则x,y,z所满足的关系式为________,x2+y2+z2的最小值是______.【解析】利用三角形面积相等,得×2(x+y+z)=×(2)2,即x+y+z=3.由(1+1+1)(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=9,得x2+y2+z2≥3,当且仅当x=y=z=1时取等号.答案:x+y+z=338.如图所示,矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和.【解析】由题干图可知,阴影部分的面积=a1b1+a2b2,而空白部分的面积=a1b2+a2b1,根据顺序和≥逆序和可知,a1b1+a2b2≥a1b2+a2b1.答案:≥9.(2016·聊城高二检测)凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形对角线条数f(n+1)与f(n)的递推关系为________.【解析】凸n+1边形比凸n边形对角线条数多n-1,所以凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形对角线条数f(n+1)与f(n)的递推关系为f(n+1)=f(n)+n-1.答案:f(n+1)=f(n)+n-1三、解答题(每小题10分,共30分)10.已知a,b,c∈R+,求证:++≥a10+b10+c10.【解题指南】可以发现左右两边的次数相等,因此,应该进行适当的拼凑,使其成为积的形式.【证明】不妨设a≥b≥c0,则≥≥0且a12≥b12≥c120,则++≥++=++≥++=a10+b10+c10.11.a1,a2,…,an是互不相等的正数,其中ai∈[1,+∞),且i∈{1,2,3,…,n},n≥2.证明:(1)+a1+a2.(2)++…++n.【证明】(1)因为a10,a20,且a1≠a2,所以+-a1-a2==0,所以+a1+a2.(2)不妨设1≤a1a2…an,则…,且….由排序不等式知,乱序和不小于反序和,又等号均不成立,所以++…++·+·+…+·.即++…++a1+a2+…+an=n.12.(2016·厦门高二检测)设an=1+++…+(n∈N+),是否存在n的整式g(n),使得等式a1+a2+a3+…+an-1=g(n)(an-1)对大于1的一切正整数n都成立?证明你的结论.【解析】假设g(n)存在,那么当n=2时,由a1=g(2)(a2-1),即1=g(2),所以g(2)=2;当n=3时,由a1+a2=g(3)(a3-1),即1+=g(3),所以g(3)=3,当n=4时,由a1+a2+a3=g(4)(a4-1),即1++=g(4),所以g(4)=4,由此猜想g(n)=n(n≥2,n∈N+).下面用数学归纳法证明:当n≥2,n∈N+时,等式a1+a2+a3+…+an-1=n(an-1)成立.(1)当n=2时,a1=1,g(2)(a2-1)=2×=1,结论成立.(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时结论成立,即a1+a2+a3+…+ak-1=k(ak-1)成立,那么当n=k+1时,a1+a2+…+ak-1+ak=k(ak-1)+ak=(k+1)ak-k=(k+1)ak-(k+1)+1=(k+1)=(k+1)(ak+1-1),说明当n=k+1时,结论也成立,由(1)(2)可知,对一切大于1的正整数n,存在g(n)=n使等式a1+a2+a3+…+an-1=g(n)(an-1)成立.关闭Word文档返回原板块