辽宁省五校协作体20132014学年高二上学期期中考试数学文试题

中国权威高考信息资源门户——2014学年度上学期五校联考高二期中考试数学试题（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知集合14922yxxM，123yxyN，则NM（）A、B、)0,2(),0,3(C、]3,3[D、2,32、以下有关命题的说法错误的是（）A、命题“若0232xx，则1x”的逆否命题为“若1x,则2320xx”B、若qp为假命题，则p、q均为假命题C、“1x”是“0232xx”的充分不必要条件D、对于命题0:pxR，使得20010xx，则:pxR，则210xx3、某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如表：零件数x（个）102030加工时间y（分钟）213039现已求得上表数据的回归方程axby中的b值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（）A、84分钟B、94分钟C、102分钟D、112分钟4、已知实数a、b、c、d成等比数列，且函数y＝ln(x＋2)－x当x＝b时取到极大值c，则ad等于()A、－1B、0C、1D、25、观察xx2)(2，344)(xx，xxsin)(cos，由归纳推理可得：若定义在R上的函数)(xf满足)()(xfxf，记)(xg为)(xf的导函数，则)(xg＝()A、)(xfB、－)(xfC、)(xgD、－)(xg6、若双曲线12222byax的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A、5B、5C、2D、27、对任意非零实数ba,，定义ba的算法原理如上右侧程序框图所示。设a为函数xxycossin2的最大值，b为双曲线112422yx的离心率，则计算机执行该运算后输出结果是()中国权威高考信息资源门户、37B、47C、57D、278、已知曲线C：y＝22x，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是()A、(4，＋∞)B、(－∞，4]C、(10，＋∞)D、(－∞，10]9、已知函数1)(2axxf的图像在点A(1，f(1))处的切线l与学科网直线028yx平行，若数列})(1{nf的前n项和为nS，则2013S的值为（）A、20132010B、20131005C、40274026D、4027201310、已知可导函数'()()()()fxxRfxfx满足，则当0a时，()(0)afaef和大小关系为（）A、()(0)afaefB、()(0)afaefC、()(0)afaefD、0feafa11、已知椭圆14922yx的左、右顶点分别为A1和A2，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为P1和P2，其中P1的纵坐标为正数，则直线A1P1与A2P2的交点M的轨迹方程（）A、14922yxB、14922xyC、14922yxD、14922xy12、如图，过双曲线1251622yx的左焦点F引圆x2+y2=16的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则MTMO（）A、1B、23C、45D、2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13、与双曲线14522yx有共同渐近线，且过点)2,2(的双曲线方程是。14、在随机数模拟试验中，若randx3（）,randy2（）,共做了m次试验，其中有n次满足14922yx，则椭圆14922yx的面积可估计为。rand（）中国权威高考信息资源门户之间的随机数15、以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为非零常数，若||PA|﹣|PB||=k，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若OBOAOP2121，则动点P的轨迹为椭圆；③抛物线2ayx)0(a的焦点坐标是)0,41(a；④曲线191622yx与曲线1103522yx（＜35且≠10）有相同的焦点．其中真命题的序号为。16、若xyxxcossin20，且yxz2，则z的取值范围是_________。三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（10分）已知0a，设命题p:函数xya在R上单调递增；命题q:不等式210axax对xR恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围。18、（12分）已知函数f(x)＝13x3－ax2＋(a2－1)x＋b(a，b∈R)，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y－3＝0.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间，并求出f(x)在区间[－2,4]上的最大值。19、（12分）数列na的前n项和为nS，11a，121nnaS*()nN，等差数列nb满足353,9bb.（1）分别求数列na，nb的通项公式；（2）设*22()nnnbcnNa，求证113nncc。20、（12分）定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋3同时满足以下条件：①f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；②)(xf是偶函数；③f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)设g(x)＝xmxln，若存在实数x∈[1，e]，使g(x))(xf，求实数m的取值范围。中国权威高考信息资源门户、（12分）已知抛物线C：y2＝4x，直线l：y＝12x＋b与C交于A、B两点，O为坐标原点．(1)当直线l过抛物线C的焦点F时，求|AB|；(2)是否存在直线l使得直线OA、OB倾斜角之和为135°，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。22、（12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为4,且过点(23)P，.(1)求椭圆C的方程;(2)设0000(,)(0)Qxyxy为椭圆C上一点,过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点(0,22)A,连接AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由。中国权威高考信息资源门户——2014学年度上学期五校联考高二期中考试数学试题（文科答案）一．选择题：1.C；2.B；3.C；4.A；5.D；6.A；7.B；8.D；9.D；10.B；11.C；12.A．二．填空题：13．14522xy；14．mn24；15．③④；16．.三、解答题：17、解：∵y=ax在R上单调递增，∴a＞1；……………2分又不等式ax2-ax+1＞0对x∈R恒成立，∴△＜0，即a2-4a＜0，∴0＜a＜4，……………4分∴q：0＜a＜4．而命题p且q为假，p或q为真，那么p、q中有且只有一个为真，一个为假．①若p真，q假，则a≥4；……………6分②若p假，q真，则0＜a≤1．……………8分所以a的取值范围为（0，1]∪[4，+∞）．……………10分18、解：(1)f′(x)＝x2－2ax＋a2－1，∵(1，f(1))在x＋y－3＝0上，∴f(1)＝2，∵(1,2)在y＝f(x)上，∴2＝13－a＋a2－1＋b，又f′(1)＝－1，∴a2－2a＋1＝0，解得a＝1，b＝83.……………………………………………6分(2)∵f(x)＝13x3－x2＋83，∴f′(x)＝x2－2x，由f′(x)＝0可知x＝0和x＝2是f(x)的极值点，所以有x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)．……………………………………………9分∵f(0)＝83，f(2)＝43，f(－2)＝－4，f(4)＝8，∴在区间[－2,4]上的最大值为8.……………………………………………12分19、解：解：（1）由121nnaS----①得121nnaS----②，①②得112()nnnnaaSS，13nnaa…………………………………………2分中国权威高考信息资源门户；………………………………………………………………………………3分5326,3bbdd…………………………………………………………………4分36nbn…………………………………………………………………………6分（2）因为1223,3nnnabn………………………-………………………8分所以1333nnnnnc………………………………………………………9分所以032111nnnncc………………………………………………………10分1113nnccc………………………………………………………11分所以113nncc……………………………………………12分20、解：（(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0①……………………………………………1分由f′(x)是偶函数得：b＝0②……………………………………………2分又f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直，f′(0)＝c＝－1③…………3分由①②③得：a＝13，b＝0，c＝－1，即f(x)＝13x3－x＋3.……………4分(2)由已知得：存在实数x∈[1，e]，使lnx－mxx2－1即存在x∈[1，e]，使mxlnx－x3＋x…………………………6分设M(x)＝xlnx－x3＋xx∈[1，e]，则M′(x)＝lnx－3x2＋2……………7分设H(x)＝lnx－3x2＋2，则H′(x)＝1x－6x＝1－6x2x……………8分∵x∈[1，e]，∴H′(x)0，即H(x)在[1，e]上递减于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤－10，即M′(x)0……………10分∴M(x)在[1，e]上递减，∴M(x)≥M(e)＝2e－e3……………12分于是有m2e－e3为所求．21、解:(1)抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，代入直线y＝12x＋b可得b＝－12，………………………………………………1分∴l：y＝12x－12，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中国权威高考信息资源门户联立212142xyxy，消去y得x2－18x＋1＝0，∴x1＋x2＝18，x1x2＝1，(方法一)|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝54·x1＋x22－4x1x2＝20.………………………………………………4分(方法二)|AB|＝x1＋x2＋p＝18＋2＝20.………………………………………………4分(2)假设存在满足要求的直线l：y＝12x＋b，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立bxyxy2142，消去x得y2－8y＋8b＝0，∴y1＋y2＝8，y1y2＝8b，………………………………………………6分设直线OA、OB的倾斜角分别为α、β，斜率分别为k1、k2，则α＋β＝135°，tan(α＋β)＝tan135°，k1＋k21－k1k2＝－1，………………………………………………8分其中k1＝y1x1＝4y1，k2＝y2x2＝4y2，代入上式整理得y1y2－16＋4(y1＋y2)＝0，………………………………………………10分∴8b－16＋32＝0，即b＝－2，………………