高一年级2008寒假培优数学教材

1、海量资源尽在星星文库：三、函数思想方法的应用【要点】1．函数的思想，是指运用运动变化的观点，分析和研究数量关系，通过建立或构造函数关系式，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法．2．方程的思想，是指根据数学问题中变量间的特殊关系，有意识地构造方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法．3．函数和方程是密切相关的，可以互相转化。比如研究函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点问题，就是研究方程f(x)=g(x)的实数解的问题；解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点．4．函数应用题的解题步骤简述如下：（1）审题：阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论；（2）建模：将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型,；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；（4）作答：对结果进行验证或评估，作出解释或回答。解应用题可归结为“过三关”：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识。

2、和较强的数理能力。【例题】1．方程x2=2x的解的个数为（）A．0B．1C．2D．32．已知155acb，（a、b、c∈R），则有（）A．acb42B．acb42C．acb42D．acb423．已知关于x的方程2x－(2m－8)x+2m－16=0的两个实根1x、2x满足1x＜23＜2x，则实数m的取值范围_______________．4．关于x的方程|x2－4x+3|－a=0有三个不相等的实数根，则实数a的值是______．5．若不等式x4x2≥34x+11-a的解集为{x|-4≤x≤-2}，求实数a的值．海量资源尽在星星文库：．已知直线y=3-x和坐标轴交于A、B两点，若抛物线y=-x2+mx-1和线段AB有两个不同的交点，求实数m的范围．7．设不等式2x－1m（x2－1）对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立．求x的取值范围．8．设f（x）＝lg3421axx，如果当x∈（-∞,1]时f（x）有意义，求实数a的取值范围．9．若方程lg（－x2＋3x－m）＝lg（3－x）在x∈（0,3）内有唯一解，求实数m的取值范围．10．已知函数f(x)=logm33x。

3、x(1)若f(x)的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；(2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为［logm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由．海量资源尽在星星文库：．（1997年全国高考题）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米／时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数，并指出函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？12．某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿岸边自A跑到距离B最近的D处，然后游向B处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海中的行进速度2米/秒（1）分析救生员的选择是否正确；（2）在AD上找一落点C，使救生员从A到B的时间最短，并求出最短时间。【习题】一、选择题（A、B、C三。

4、级试题分别为3、2、1，共6小题）：1.方程2x＝x2＋2x＋1的实数解的个数是_____．A．1B．2C．3D．以上都不对2.方程lgx+x=3的解所在区间为（C）A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，+∞)3.函数)1(x1)6(x13x8x4y2的最小值是A．1B．2C．25/12D．13/6海量资源尽在星星文库：、x2、x3依次是方程x2xlog21，x)2x(log2，2x+x=2的根，则有（）A．x2＜x3＜x1B．x1＜x3＜x2C．x2＜x1＜x3D．x3＜x2＜x15.设9897nnan（n∈N），则在数列{an}的前30项中的最大项、最小项依次是（）A．a1，a30B．a1，a9C．a10，a9D．a10，a306.已知集合P＝{(x,y)|y＝29x}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠，则b的取值范围是．A．|b|3B．|b|≤32C．－3≤b≤32D．－3b32二、填空题（A、B、C三级试题分别为2、1、1，共4小题）：7.若不等式m|x－1|＋|x＋1|的解集是非空数集，那么实数m的取值范围是______。

5、___．8.若方程x2－3ax＋2a2＝0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a的取值范围是______．9.对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px＞4x＋p－3成立的x的取值范围是________．10.若关于x的方程|x2－6x＋8|＝a恰有两个不等实根，则实数a的取值范围是____________．三、解答题（A、B、C三级试题分别为2、2、2，共6小题）：11.已知函数g(x)=lg[a(a+1)x2－(3a+1)x+3]的值域是R，求实数a的取值范围．12.定义域内不等式axx2恒成立，求实数a的取值范围．13.已知点A（0,1）、B（2,3）及抛物线y＝x2＋mx＋2，若抛物线与线段AB相交于两点，求实数m的取值范围．14.当实数a在什么范围内时，方程1)lg(22lgaxx有两个不相等的实数根．15.已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a≠0)满足条件:f(x–1)=f(3–x)且方程f(x)=2x有等根．（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m，n(m＜n)，使f(x)定义域和值域分别为［m,n］和［4m,4n］，如果存在，。

6、求出m、n的值；如果不存在，说明理由．16.（1）一次函数f(x)=kx+h(k≠0)，若m＜n有f(m)＞0，f(n)＞0，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0，试证明之；（2）试用上面结论证明下面的命题：若a，b，c∈R且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则ab+bc+ca＞-1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆海量资源尽在星星文库：三、函数思想方法的应用参考答案【例题】1．D2．B3．17{|}22mm4．解析：作函数y=|x2－4x+3|的图象，如下图．xyO123-1123由图象知直线y=1与y=|x2－4x+3|的图象有三个交点，即方程|x2－4x+3|=1也就是方程|x2－4x+3|－1=0有三个不相等的实数根，因此a=1．答案：15．解：设x4xy21x4xy221（y1≥0）∴4y)2x(212（y1≥0），它表示以（-2，0）为圆心，2为半径的上半圆．a11x34y2表示和x34y平行或重合的直线系．分别作出y1与y2的图象，让y2作平行移动，要y1≥y2解集。

7、为{x|-4≤x≤-2}，显然当且仅当直线通过点（-2，2）时符合要求，此时a11)2(342∴319a6．解：将y=3-x代入抛物线方程得：x2-（m+1）x+4=0（*）（*）应满足条件：在[0，3]内有两个不同的实根．令f（x）=x2-（m+1）x+4．由如图，则0321m00)3(f0)0(f海量资源尽在星星文库：解得：3＜m≤3107．【解】问题可变成关于m的一次不等式：（x2－1）m－（2x－1）0在[-2,2]恒成立，设f（m）＝（x2－1）m－（2x－1）,则0)12()1(2)2(0)12()1(2)2(22xxfxxf解得x∈（217,213）【注】本题的关键是变换角度，以参数m作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题．本题有别于关于x的不等式2x－1m（x2－1）的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x－1m（x2－1）在[-2,2]上恒成立时求m的范围．8．【分析】当x∈（-∞,1]时f（x）＝lg3421axx有意义的函数问题，转化为1＋2x＋。

8、4xa0在x∈（-∞,1]上恒成立的不等式问题．【解】由题设可知，不等式1＋2x＋4xa0在x∈（-∞,1]上恒成立，即：（12）2x＋（12）x＋a0在x∈（-∞,1]上恒成立．设t＝（12）x,则t≥12，又设g（t）＝t2＋t＋a，其对称轴为t＝－12∴t2＋t＋a＝0在[12,+∞）上无实根，即g（12）＝（12）2＋12＋a0，得a－34所以a的取值范围是a－34．【注】对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想．一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化．在解决不等式（12）2x＋（12）x＋a0在x∈（-∞,1]上恒成立的问题时，也可使用“分离参数法”：设t＝（12）x,t≥12，则有a＝－t2－t∈（－∞,－34]，所以a的取值范围是a－34．其中最后得到a的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用“函数思想”．海量资源尽在星星文库：．【解】原方程变形为xmxxx33032即：。

9、mxx1)2(032设曲线y1＝（x－2）2,x∈（0,3）和直线y2＝1－m，画图可知：①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1;②当1≤1－m4时，有唯一解，即－3m≤0,∴m＝1或－3m≤0此题也可设曲线y1＝－（x－2）2＋1,x∈（0,3）和直线y2＝m后画出图像求解．【注】一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了．此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）．10．解：（1）033xxx＜–3或x＞3．∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3设β≥x1＞x2≥α，有0)3)(3()(6333321212211xxxxxxxx当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数．（2）若f(x)在［α,β］上的值域为［logmm(β–1),logmm(α–1)］∵0＜m＜1,f(x)为减函数．∴)1(log33log)()1(log33log)(mfmfmmmm即3,0)1(3)12(。

10、0)1(3)12(22又mmmmmm即α,β为方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根∴0)3(3212011616102mfmmmmm∴0＜m＜432故当0＜m＜432时，满足题意条件的m存在．11．解：（读题）由主要关系：运输总成本＝每小时运输成本×时间，海量资源尽在星星文库：（建模）有y＝（a＋bv2）Sv（解题）所以全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数关系式是：y＝S（av＋bv），其中函数的定义域是v∈（0，c]．整理函数有y＝S（va＋bv）＝S（v＋vba），由函数y＝x＋kx（k0）的单调性而得：当abc时。