高一数学同步测试7反函数

高一数学同步测试（7）—反函数一、选择题：1．设函数f(x)＝1－2x1(－1≤x≤0)，则函数y＝f－1(x)的图象是（）A.yB.y1C.yD.y11x1Ox－1－1－1OxO1x2．函数y=1－1x(x≥1)的反函数是（）A．y=(x－1)2＋1，x∈RB．y=(x－1)2－1，x∈RC．y=(x－1)2＋1，x≤1D．y=(x－1)2－1，x≤13．若f(x－1)=x2－2x＋3(x≤1)，则f－1(4)等于（）A．2B．1－2C．－2D．2－24．与函数y=f(x)的反函数图象关于原点对称的图象所对应的函数是（）A．y=－f(x)B．y=f-1(x)C．y=－f-1(x)D．y=－f-1(－x)5．设函数242,4fxxx，则1fx的定义域为（）A．4,B．0,C．0,4D．0,126．若函数yfx的反函数是ygx，,0fabab，则()gb等于（）A．aB．1aC．bD．1b7．已知函数13axfxx的反函数就是fx本身，则a的值为（）A．3B．1C．3D．18．若函数fx存在反函数，则方程fxcc为常数（）A．有且只有一个实数根B．至少有一个实数根C．至多有一个实数根D．没有实数根9．函数f(x)=－22·12x(x≤－1)的反函数的定义域为（）A．(－∞，0］B．(－∞，＋∞)C．(－1，1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)10．若函数f(x)的图象经过点(0，－1)，则函数f(x＋4)的反函数的图象必经过点（）A．(－1，4)B．(－4，－1)C．(－1，－4)D．(1，－4)11．函数f(x)＝x1(x≠0)的反函数f－1(x)＝（）A．x(x≠0)B．x1(x≠0)C．－x(x≠0)D．－x1(x≠0)12、点(2，1)既在函数f(x)=abxa1的图象上，又在它的反函数的图象上，则适合条件的数组(a，b)有（）A．1组B．2组C．3组D．4组二、填空题：13．若函数f(x)存在反函数f－1(x)，则f－1[f(x)]=___；f[f－1(x)]=_____．14．已知函数y＝f(x)的反函数为f－1(x)＝x－1(x≥0)，那么函数f(x)的定义域为___．15．设f(x)=x2－1(x≤－2)，则f－1(4)=__________．16．已知f(x)＝f－1(x)＝xmx12(x≠－m)，则实数m=．三、解答题：17．（1）已知f(x)=4x－2x＋1，求f－1(0)的值．（2）设函数y=f(x)满足f(x－1)=x2－2x＋3(x≤0)，求f－1(x＋1)．18．判断下列函数是否有反函数，如有反函数，则求出它的反函数．（1）2()42()fxxxxR；（2）2()42(2)fxxxx．（3）1(0)1,,(0)xxyxx19．已知f(x)=13xax（1）求y=f(x)的反函数y=f－1(x)的值域;（2）若(2，7)是y=f－1(x)的图象上一点，求y=f(x)的值域．20．已知函数2(1)2(0)fxxxx，（1）求1()fx及其1(1)fx；（2）求(1)yfx的反函数．21．己知211xfxx(x≥1)，（1）求fx的反函数1()fx，并求出反函数的定义域；（2）判断并证明1()fx的单调性．22．给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数11axxyaxRx1,且．试证明：这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．参考答案一、选择题：DCCDDACCACBA二、填空题：13.x，x，14.x≥－1，15.－5，16.m＝－2三、解答题：17.解析：（１）设f－1(0)=a，即反函数过(0，a)，∴原函数过(a，0)．代入得：0=4a－2a＋1，2a(2a－2)=0，得a=1，∴f)0(1=1．（２）先求f(x)的反函数)2(1)1(),3(2)(11xxxfxxxf．18.解析：⑴令()0,yfx得到对应的两根：120,4xx这说明函数确定的映射不是一一映射，因而它没有反函数．⑵由2()42fxxx2(2)2x，得2(2)2xy∵2x，∴22,22xyxy，互换,xy得22,yx又由2()42(2)fxxxx的值域可得反函数定义域为2,),∴反函数为1()21,fxxx2,)．⑶由1(0)yxx得其反函数为1(1)yxx；又由1(0)yxx得其反函数为1(1)yxx．综上可得，所求的反函数为1(1)1(1)xxyxx．注：求函数()yfx的反函数的一般步骤是：⑴反解，由()yfx解出1()xfy，写出y的取值范围；⑵互换,xy，得1()yfx；⑶写出完整结论(一定要有反函数的定义域)．⑷求分段函数的反函数，应分段逐一求解；分段函数的反函数也是分段函数．19.解析：（１）反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域．∴反函数的值域为{y|y1,yR}（２）∵(2，7)是y=f－1(x)的图象上一点，∴(7，2)是y=f(x)上一点．∴,215215)1(2132)(212327xxxxxxfaa∴f(x)的值域为{y|y≠2}．20．解析：⑴∵22(1)211(1)1(0)fxxxxx，∴2()1(1)fxxx，其值域为{|0}yy，又由21(1)yxx得1xy，∴1()1(0)fxxx，∴1(1)2(1)fxxx．⑵由2()2(0)yfxxxx，解得11(1)xyy∴(1)yfx的反函数为11yx(1)x．说明：1(1)yfx并不是(1)yfx的反函数，而是1()yfx的反函数．题中有1(1)yfx的形式，我们先求出1()yfx，才能求出1(1)yfx．21.解析：⑴2111(),1,101111yyxyxxyxyy设，即1()fx的定义域为0,1；⑵设1211121212122()01,01,()()0(1)(1)xxxxxxfxfxxx，1112()()fxfx，即1()fx在1,0上单调递增．22、证法一:且则意一点是这个函数的图象上任设点,1,),(axyxP.11xaxy……①).,(),(xyPxyyxP的坐标为的对称点关于直线易知点由①式得,1)1(1)1(yyaxxxay即……②由此得a=1，与已知矛盾，.01ya又由②式得11yayx这说明点P′（y′,x′）在已知函数的图象上，因此，这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形.证法二:先求所给函数的反函数:由),1,(11axRxaxxy得y(ax－1)=x－1，即(ay－1)x=y－1．得代入所给函数的解析式则假如,,1,01ayay111axxa即ax－a=ax－1，由此得a=1，与已知矛盾，所以ay－1≠0．因此得到).1,(,11)1,(11,1,11axRxaxxyaxRxaxxyayayyx且的反函数是且这表明函数其中由于函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f－1(x)的图象关于直线y=x对称，所以函数)1,(11axRxaxxy且的图象关于直线y=x成轴对称图形.