高一数学第三章章末检测a

第3章三角恒等变换(A)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．(cosπ12－sinπ12)(cosπ12＋sinπ12)＝________.2.3tan15°＋13－tan15°的值是________．3．已知sinx－siny＝－23，cosx－cosy＝23，且x，y为锐角，则sin(x＋y)＝________.4．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝62，则a、b、c按从小到大的顺序排列为________．5．已知sin(45°＋α)＝55，则sin2α＝________.6．若sinx－siny＝－13，cosx－cosy＝14，则cos(x－y)的值是________．7．若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)为奇函数，则θ的取值集合是________．8．已知tan2θ＝－22，π2θ2π，则tanθ的值为________．9．函数y＝2sinx(sinx＋cosx)的最大值为______．10．化简：1＋sin4α－cos4α1＋sin4α＋cos4α＝________.11．已知sinα＝cos2α，α∈(π2，π)，则tanα＝______.12．若sinα＋cosαsinα－cosα＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.13．函数y＝sin2x3＋cos2x3＋π6的图象中相邻对称轴的距离是________．14．已知cos(α－β)＝35，sinβ＝－513，且α∈(0，π2)，β∈(－π2，0)，则sinα＝________.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知tanα，tanβ是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0απ2，πβ3π2.求：tan(α＋β)及α＋β的值．16．(14分)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求f(π3)的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．17．(14分)已知向量a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈3π2，2π，且a⊥b.(1)求tanα的值；(2)求cosα2＋π3的值．18．(16分)已知函数f(x)＝2sin2π4＋x－3cos2x.(1)求f(x)的周期和单调递增区间；(2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈π4，π2上有解，求实数m的取值范围．19．(16分)已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝65，x0∈[π4，π2]，求cos2x0的值．20．(16分)已知0απ2βπ，tanα2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sinα的值；(2)求β的值．第3章三角恒等变换(A)1.32解析(cosπ12－sinπ12)(cosπ12＋sinπ12)＝cos2π12－sin2π12＝cosπ6＝32.2．1解析∵3－tan15°3tan15°＋1＝tan60°－tan15°1＋tan60°tan15°＝tan45°＝1，∴3tan15°＋13－tan15°＝1.3．1解析∵sinx－siny＝－23，cosx－cosy＝23，两式相加得：sinx＋cosx＝siny＋cosy，∴sin2x＝sin2y，又∵x，y均为锐角且x≠y，∴2x＝π－2y，x＋y＝π2，∴sin(x＋y)＝1.4．acb解析a＝2sin59°2×32＝62，ac.b＝2sin61°2×32＝62，bc.从而acb.5．－35解析sin(α＋45°)＝(sinα＋cosα)·22＝55，∴sinα＋cosα＝105.两端平方，∴1＋sin2α＝25，∴sin2α＝－35.6.263288解析由sinx－siny＝－13①cosx－cosy＝14②①2＋②2得2－2(sinxsiny＋cosxcosy)＝25144.∴cos(x－y)＝263288.7.θ|θ＝kπ－π3，k∈Z解析f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)＝2sin2x＋π3＋θ.f(0)＝2sinπ3＋θ＝0.∴π3＋θ＝kπ，即θ＝kπ－π3，k∈Z.8．－22解析∵π2θ2π，∴π2θπ，则tanθ0，tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－22，化简得2tan2θ－tanθ－2＝0，解得tanθ＝－22或tanθ＝2(舍去)，∴tanθ＝－22.9.2＋1解析y＝2sin2x＋2sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x＝2sin(2x－π4)＋1，∴ymax＝2＋1.10．tan2α解析原式＝2sin22α＋2sin2αcos2α2cos22α＋2sin2αcos2α＝2sin2αsin2α＋cos2α2cos2αcos2α＋sin2α＝tan2α.11．－33解析∵sinα＝cos2α＝1－2sin2α∴2sin2α＋sinα－1＝0，∴sinα＝12或－1.∵π2απ，∴sinα＝12，∴α＝56π，∴tanα＝－33.12.43解析sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝3，故tanα＝2.又tan(α－β)＝2，故tan(β－α)＝－2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tanβ－α－tanα1＋tanβ－αtanα＝43.13.3π2解析y＝sin2x3＋cos2x3cosπ6－sin2x3·sinπ6＝cos2x3cosπ6＋sin2x3sinπ6＝cos2x3－π6，T＝2π23＝3π，相邻两对称轴的距离是周期的一半．14.3365解析由于α∈(0，π2)，β∈(－π2，0)，因此α－β∈(0，π)．又由于cos(α－β)＝350，因此α－β∈(0，π2)．sin(α－β)＝45且cosβ＝1213，sinα＝sin(α－β＋β)＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝45×1213＋35×(－513)＝3365.15．解∵tanα、tanβ为方程6x2－5x＋1＝0的两根，∴tanα＋tanβ＝56，tanαtanβ＝16，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝561－16＝1.∵0απ2，πβ3π2，∴πα＋β2π，∴α＋β＝5π4.16．解(1)f(π3)＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3＝－1＋34－2＝－94.(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x－4cosx－1＝3(cosx－23)2－73，x∈R.因为cosx∈[－1,1]，所以，当cosx＝－1时，f(x)取得最大值6；当cosx＝23时，f(x)取得最小值－73.17．解(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.而a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0.由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0.解之，得tanα＝－43，或tanα＝12.∵α∈3π2，2π，tanα0，故tanα＝12(舍去)．∴tanα＝－43.(2)∵α∈3π2，2π，∴α2∈3π4，π.由tanα＝－43，求得tanα2＝－12或tanα2＝2(舍去)．∴sinα2＝55，cosα2＝－255，cosα2＋π3＝cosα2cosπ3－sinα2sinπ3＝－255×12－55×32＝－25＋1510.18．解(1)f(x)＝2sin2π4＋x－3cos2x＝1－cosπ2＋2x－3cos2x＝1＋sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3＋1，周期T＝π；2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，解得f(x)的单调递增区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．(2)x∈π4，π2，所以2x－π3∈π6，2π3，sin2x－π3∈12，1，所以f(x)的值域为[2,3]．而f(x)＝m＋2，所以m＋2∈[2,3]，即m∈[0,1]．19．解(1)由f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1，得f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6)，所以函数f(x)的最小正周期为π.因为f(x)＝2sin(2x＋π6)在区间[0，π6]上为增函数，在区间[π6，π2]上为减函数，又f(0)＝1，f(π6)＝2，f(π2)＝－1，所以函数f(x)在区间[0，π2]上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f(x0)＝2sin(2x0＋π6)．因为f(x0)＝65，所以sin(2x0＋π6)＝35.由x0∈[π4，π2]，得2x0＋π6∈[2π3，7π6]，从而cos(2x0＋π6)＝－1－sin22x0＋π6＝－45.所以cos2x0＝cos[(2x0＋π6)－π6]＝cos(2x0＋π6)cosπ6＋sin(2x0＋π6)sinπ6＝3－4310.20．解(1)tanα＝2tanα21－tan2α2＝43，所以sinαcosα＝43.又因为sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝45.(2)因为0απ2βπ，所以0β－απ.因为cos(β－α)＝210，所以sin(β－α)＝7210.所以sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝7210×35＋210×45＝22.因为β∈π2，π，所以β＝3π4.