高中人教A版数学必修4第13课时正切函数的图象与性质Word版含解析

第13课时正切函数的图象与性质课时目标1.掌握正切函数的性质，并会应用其解题．2．了解正切函数的图象，会利用其解决有关问题．识记强化1．正切函数y＝tanx的最小正周期为π；y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.2．正切函数y＝tanx的定义域为xx∈R，x≠π2＋kπ，k∈Z，值域为R.3．正切函数y＝tanx在每一个开区间－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z内均为增函数．4．正切函数y＝tanx为奇函数．5．对称性：正切函数的图象关于原点对称，正切曲线都是中心对称图形，其对称中心坐标是kπ2，0(k∈Z)．正切函数无对称轴．课时作业一、选择题1．函数y＝5tan(2x＋1)的最小正周期为()A.π4B.π2C．πD．2π答案：B2．函数f(x)＝tanx1＋cosx的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数答案：A解析：要使函数f(x)＝tanx1＋cosx有意义，必须使x≠kπ＋π2k∈Z1＋cosx≠0，即x≠kπ＋π2且x≠(2k＋1)π，k∈Z.所以函数f(x)＝tanx1＋cosx的定义域关于原点对称．又因为f(－x)＝tan－x1＋cos－x＝－tanx1＋cosx＝－f(x)，所以函数f(x)＝tanx1＋cosx为奇函数．故选A.3．下列函数中，周期为π，且在0，π2上单调递增的是()A．y＝tan|x|B．y＝|tanx|C．y＝sin|x|D．y＝|cosx|答案：B解析：画函数图象，通过观察图象，即可解决本题．4．函数y＝tan(x2＋π3)的单调递增区间是()A．(－∞，＋∞)B.2kπ－5π6，2kπ＋π6，k∈ZC.2kπ－5π3，2kπ＋π3，k∈ZD.kπ－5π3，kπ＋π3，k∈Z答案：C解析：由y＝tanx的单调递增区间为kπ－π2，kπ＋π2，∴kπ－π2＜x2＋π3＜kπ＋π2，k∈Z⇒2kπ－5π3＜x＜2kπ＋π3，k∈Z.故选C.5．函数y＝tanx＋π5的一个对称中心是()A．(0,0)B.π5，0C.4π5，0D．(π，0)答案：C解析：令x＋π5＝kπ2，得x＝kπ2－π5，k∈Z，∴函数y＝tanx＋π5的对称中心是kπ2－π5，0.令k＝2，可得函数的一个对称中心为4π5，0.6．已知函数y＝tanωx在－π2，π2内是减函数，则()A．0ω≤1B．－1≤ω0C．ω≥1D．ω≤－1答案：B解析：∵y＝tanωx在－π2，π2内是减函数，∴ω0且T＝π|ω|≥π，∴－1≤ω0.二、填空题7．函数y＝11＋tanx的定义域是________．答案：xx∈R，x≠kπ＋π2且x≠kπ－π4，k∈Z解析：要使函数y＝11＋tanx有意义，只需1＋tanx≠0x≠π2＋kπ，k∈Z，解得x≠kπ＋π2且x≠kπ－π4，k∈Z.∴函数y＝11＋tanx的定义域为xx≠kπ＋π2且x≠kπ－π4，k∈Z.8．方程x－tanx＝0的实根有________个．答案：无数解析：方程x－tanx＝0的实根个数就是直线y＝x与y＝tanx的图象的交点的个数，由于y＝tanx的值域为R，所以直线y＝x与函数y＝tanx图象的交点有无数个．9．直线y＝a(a为常数)与曲线y＝tanωx(ω为常数，且ω0)相交的两相邻交点间的距离为________．答案：πω解析：∵ω0，∴函数y＝tanωx的周期为πω，∴两交点间的距离为πω.三、解答题10．求函数y＝tanx2－π3的定义域、最小正周期、单调区间和对称中心．解：①由x2－π3≠kπ＋π2，k∈Z，得x≠2kπ＋5π3，k∈Z.∴函数的定义域为xx≠2kπ＋5π3，k∈Z.②T＝π12＝2π，∴函数的最小正周期为2π.③由kπ－π2x2－π3kπ＋π2，k∈Z，解得2kπ－π3x2kπ＋5π3，k∈Z.∴函数的单调递增区间为2kπ－π3，2kπ＋5π3，k∈Z.④由x2－π3＝kπ2，k∈Z，得x＝kπ＋2π3，k∈Z.∴函数的对称中心是kπ＋2π3，0，k∈Z.11．求函数y＝tanx＋1＋lg(1－tanx)的定义域．解：由题意，得tanx＋1≥01－tanx0x≠kπ＋π2，k∈Z，即－1≤tanx1.在－π2，π2内，满足上述不等式的x的取值范围是－π4，π4.又y＝tanx的周期为π，所以所求x的取值范围是kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)．即函数的定义域为kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)．能力提升12．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，y＝f(x)的部分图像如图所示，则fπ24＝________.答案：3解析：由图像知T2＝38π－π8＝π4，T＝π2，ω＝2，2×π8＋φ＝π2＋kπ，φ＝π4＋kπ，k∈Z.又|φ|＜π2，∴φ＝π4.∵函数f(x)的图像过点(0,1)，∴f(0)＝Atanπ4＝A＝1.∴f(x)＝tan2x＋π4.∴fπ24＝tan2×π24＋π4＝tanπ3＝3.13．已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，3]，其中θ∈－π2，π2.(1)当θ＝－π6时，求函数的最大值和最小值；(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，3]上是单调函数．解：(1)当θ＝－π6时，f(x)＝x2－233x－1＝x－332－43.∵x∈[－1，3]，∴当x＝33时，f(x)取得最小值－43，当x＝－1时，f(x)取得最大值233.(2)f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图象的对称轴为x＝－tanθ.∵y＝f(x)在区间[－1，3]上是单调函数，∴－tanθ≤－1或－tanθ≥3，即tanθ≥1或tanθ≤－3.又θ∈－π2，π2，∴θ的取值范围是－π2，－π3∪π4，π2.