高中人教A版数学必修4第二三章滚动测试Word版含解析

第二、三章滚动测试班级____姓名____考号____分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知A(x,1)，B(1,0)，C(0，y)，D(－1,1)，若AB→＝CD→，则x＋y等于()A．1B．2C．3D．4答案：D解析：∵AB→＝CD→，∴(1－x，－1)＝(－1,1－y)，∴1－x＝－1，1－y＝－1，得x＋y＝4.2．若a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则()A．a与b的长度必相等B．a∥b且a与b同向C．a与b不一定相等D．a是b的相反向量答案：B解析：由|a＋b|＝|a|＋|b|可知两向量的夹角为0°或180°，根据a、b为非零向量可知如果有|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b必同向．3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于()A.79，73B.－73，－79C.73，79D.－79，－73答案：D解析：不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)，又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，∴m＝－79，n＝－73.故选D.4．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则()A.AD→＋BE→＋CF→＝0B.BD→－CF→＋DF→＝0C.AD→＋CE→－CF→＝0D.BD→－BE→－FC→＝0答案：A解析：AD→＋BE→＋CF→＝12AB→＋12BC→＋12CA→＝12(AB→＋BC→＋CA→)＝0.5．在△ABC中，A＝15°，则3sinA－cos(B＋C)的值为()A.22B.32C.2D．2答案：C解析：原式＝3sinA－cos(π－A)＝3sinA＋cosA＝2sin(A＋30)＝2sin(15°＋30°)＝2.6．设f(sinx)＝cos2x，则f32等于()A．－12B．－32C.12D.32答案：A解析：解法一：由f(sinx)＝cos2x＝1－2sin2x，得f(x)＝1－2x2，则f32＝1－2×322＝－12.解法二：由题意令x＝60°，得f32＝f(sin60°)＝cos120°＝－12.7．已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，则cosα＋sinαcosα－sinα＝()A.522B.17C.16D.322答案：D解析：∵α＋π4＝α＋β－β－π4，∴tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋β·tanβ－π4＝322，∴cosα＋sinαcosα－sinα＝2sinα＋π42cosα＋π4＝tanα＋π4＝322.8．函数y＝sin2x＋cos2x的图象，可由函数y＝sin2x－cos2x的图象()A．向左平移π8个单位得到B．向右平移π8个单位得到C．向左平移π4个单位得到D．向右平移π4个单位得到答案：C解析：y＝sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π4＝2sin2x＋π8，y＝sin2x－cos2x＝2sin2x－π4＝2sin2x－π8，其中x＋π8＝x＋π4－π8，∴将y＝sin2x－cos2x的图象向左平移π4个单位可得y＝sin2x＋cos2x的图象．9．如果sinα＋βsinα－β＝mn，那么tanβtanα等于()A.m－nm＋nB.m＋nm－nC.n－mn＋mD.n＋mn－m答案：A解析：∵sinα＋βsinα－β＝sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ＝mn，∴cosαsinβsinαcosβ＝m－nm＋n，∴tanβtanα＝m－nm＋n.10．A，B，C，D为平面上四个互异点，且满足(DB→＋DC→－2DA→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形答案：B解析：∵(DB→＋DC→－2DA→)·(AB→－AC→)＝(DB→－DA→＋DC→－DA→)·(AB→－AC→)＝(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝AB→2－AC→2＝0，∴|AB→|＝|AC→|.11．已知sinx－siny＝－23，cosx－cosy＝23，且x、y为锐角，则tan(x－y)的值是()A.2145B．－2145C．±2145D．±51428答案：B解析：由已知sinx－siny＝－23，cosx－cosy＝23，得sin2x－2sinxsiny＋sin2y＝49，cos2x－2cosxcosy＋cos2y＝49，相加得cos(x－y)＝59.∵x、y均为锐角且sinx－siny0，∴－π2x－y0，∴sin(x－y)＝－2149，∴tan(x－y)＝－2145.12．已知向量a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈π2，π，若a·b＝25，则tanα＋π4等于()A.13B.27C.17D.23答案：C解析：由题意，得cos2α＋sinα(2sinα－1)＝25，解得sinα＝35，又α∈π2，π，所以cosα＝－45，tanα＝－34，则tanα＋π4＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝17.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．答案：(－4，－2)解析：设a＝(x，y)，x0，y0，则x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝4，y＝2(舍去)，或者x＝－4，y＝－2，即a＝(－4，－2)．14．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB→·AC→＝________.答案：－16解析：AB→·AC→＝－12BC→＋AM→·12BC→＋AM→＝－14BC→2＋AM→2＝－14×102×32＝－16.15．化简(3tan10°－1)·cos10°2sin20°＝________.答案：－1解析：原式＝32sin10°－12cos10°sin20°＝sin10°－30°sin20°＝－sin20°sin20°＝－1.16．在△ABC中，C＝π2，AC＝1，BC＝2，则f(λ)＝|2λCA→＋(1－λ)CB→|的最小值是________．答案：2解析：如图，以C为原点，CA，CB所在直线为y轴，x轴建立直角坐标系，所以CA→＝(0,1)，CB→＝(2,0)，故2λCA→＋(1－λ)CB→＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)，所以f(λ)＝22λ2－2λ＋1＝22λ－122＋12，故最小值为2，在λ＝12时取得．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知cosθ＝1213，θ∈(π，2π)，求sinθ－π6以及tanθ＋π4的值．解：∵cosθ＝1213，θ∈(π，2π)，∴sinθ＝－513，tanθ＝－512，∴sinθ－π6＝sinθcosπ6－cosθsinπ6＝－513×32－1213×12＝－53＋1226；tanθ＋π4＝tanθ＋tanπ41－tanθ·tanπ4＝－512＋11－－512×1＝717.18．(12分)已知函数f(x)＝2cosx·sinx＋π3－3sin2x＋sinxcosx.将函数f(x)的图象向右平移m个单位，使所得函数为偶函数，求m的最小值．解：f(x)＝2cosx·sinx＋π3－3sin2x＋sinxcosx＝2cosxsinxcosπ3＋cosxsinπ3－3sin2x＋sinxcosx＝2sinxcosx＋3cos2x＝2sin2x＋π3.函数f(x)的图象向右平移m个单位后的解析式为g(x)＝2sin2x－m＋π3＝2sin2x－2m＋π3，要使函数g(x)为偶函数，则－2m＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)．又m0，∴当k＝－1时，m取得最小值为512π.19．(12分)当0x≤π4时，求函数f(x)＝1＋cos2x＋8sin2xsin2x－cosxsinx的最大值．解：∵0x≤π4，则0tanx≤1，∴f(x)＝2cos2x＋8sin2x2sinxcosx－cosxsinx＝4sin2x＋cos2xsinxcosx－cosxsinx＝4tan2x＋1tanx－1tanx＝4tanx＋1tanx－1tanx＝4tanx.∴f(x)≤4.∴f(x)max＝4.20．(12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°·cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋34cos2α＋32cosαsinα＋14sin2α－32sinα·cosα－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.21．(12分)已知向量a与b的夹角为23π，|a|＝2，|b|＝3，记m＝3a－2b，n＝2a＋kb.(1)若m⊥n，求实数k的值；(2)是否存在实数k，使得m∥n？说明理由．解：(1)由m⊥n得m·n＝0，即(3a－2b)·(2a＋kb)＝0，整理得：6|a|2－(4－3k)a·b－2k|b|2＝0，∴27k＝36，∴k＝43，∴当k＝43时，m⊥n.(2)若存在实数k，使m∥n，则有m＝λn，即3a－2b＝λ(2a＋kb)，∴(3－2λ)a＝(2＋kλ)b.∵由题意可知向量a与b不共线，∴3－2λ＝0，2＋kλ＝0⇒λ＝32，k＝－43，即存在实数k＝－43，使得m∥n.22．(12分)已知函数f(x)＝a＋bsin2x＋ccos2x(x∈R)的图象过点A(0,1)，Bπ4，1，且b0，又f(x)的最大值为22－1.(1)将f(x)写成含Asin(ωx＋φ)(ω0,0φπ)的形式；(2)由函数y＝f(x)的图象经过平移是否能得到一个奇函数y＝g(x)的图象？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由．解：(1)f(x)＝a＋bsin2x＋ccos2x＝a＋b2＋c2sin(2x＋φ)tanφ＝cb，由题意，可得a＋c＝1，a＋b＝1，a＋b2＋c2＝22－1，解得a＝－1，b＝2，c＝2.所以f(x)＝－1＋2sin2x＋2cos2x＝22sin2x＋π4－1.(2)将f(x)的图象向上平移1个单位得到函数f(x)＝22sin2x＋π4的图象，再向右平移π8个单位得到y＝22sin2x的图象，而函数y＝22sin2x为奇函数，故将f(x)的图象先向上平移1个单位，再向右平