高中数学人教A必修5学业分层测评14等比数列的前n项和Word版含解析

学业分层测评（十四）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于()A．1B．0C．1或0D．－1【解析】因为Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差数列，所以an为定值，即数列{an}为常数列，所以q＝anan－1＝1.【答案】A2．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()A.13B．－13C.19D．－19【解析】设公比为q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，∴a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，a1q4＝9，∴a1q2＝9a1，a1q4＝9，解得a1＝19，故选C.【答案】C3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是()A．190B．191C．192D．193【解析】设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝12，n＝7，由a11－1271－12＝381，解得a1＝192.【答案】C4．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn的值为()A．2nB．2n－nC．2n＋1－nD．2n＋1－n－2【解析】法一特殊值法，由原数列知S1＝1，S2＝4，在选项中，满足S1＝1，S2＝4的只有答案D.法二看通项，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1.∴Sn＝22n－12－1－n＝2n＋1－n－2.【答案】D5．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为54，则S5＝()A．35B．33C．31D．29【解析】设数列{an}的公比为q，∵a2·a3＝a21·q3＝a1·a4＝2a1，∴a4＝2.又∵a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2＋4q3＝2×54，∴q＝12.∴a1＝a4q3＝16，S5＝a11－q51－q＝31.【答案】C二、填空题6．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.【解析】∵在等比数列{an}中，前3项之和等于21，∴a11－431－4＝21，∴a1＝1，∴an＝4n－1.【答案】4n－17．设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.【解析】法一a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15.法二因为a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|，数列{|an|}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为1－241－2＝15.【答案】158．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.【解析】∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，又∵Sn＝126，∴21－2n1－2＝126，∴n＝6.【答案】6三、解答题9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列.【导学号：05920072】(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.【解】(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－12.(2)由已知可得a1－a1－122＝3，故a1＝4.从而Sn＝41－－12n1－－12＝831－－12n.10．(2015·浙江高考)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋12b2＋13b3＋…＋1nbn＝bn＋1－1(n∈N*)．(1)求an与bn；(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.【解】(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*)．由题意知：当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.当n≥2时，1nbn＝bn＋1－bn.整理得bn＋1n＋1＝bnn，所以bn＝n(n∈N*)．(2)由(1)知anbn＝n·2n，因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1.故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)．[能力提升]1．在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N*)，则a21＋a22＋…＋a2n等于()A．(2n－1)2B.13(2n－1)2C．4n－1D.13(4n－1)【解析】a1＋a2＋…＋an＝2n－1，即Sn＝2n－1，则Sn－1＝2n－1－1(n≥2)，则an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以an＝2n－1，a2n＝4n－1，所以a21＋a22＋…＋a2n＝13(4n－1)．【答案】D2．如图2­5­1，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则前n个内切圆的面积和为()图2­5­1A.πa231－14nB.1－14nπC．21－14nπD．31－14nπ【解析】根据条件，第一个内切圆的半径为36×3＝32，面积为34π，第二个内切圆的半径为34，面积为316π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为34π，公比为14，故面积之和为34π1－14n1－14＝1－14nπ.【答案】B3．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．【解析】每天植树棵数构成等比数列{an}，其中a1＝2，q＝2，则Sn＝a11－qn1－q＝2(2n－1)≥100，即2n＋1≥102，∴n≥6，∴最少天数n＝6.【答案】64．(2015·湖北高考)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d＞1时，记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.【解】(1)由题意有10a1＋45d＝100，a1d＝2，即2a1＋9d＝20，a1d＝2，解得a1＝1，d＝2或a1＝9，d＝29.故an＝2n－1，bn＝2n－1或an＝192n＋79，bn＝9·29n－1.(2)由d＞1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝2n－12n－1，于是Tn＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n－12n－1，①12Tn＝12＋322＋523＋724＋…＋2n－32n－1＋2n－12n.②①－②可得12Tn＝2＋12＋122＋…＋12n－2－2n－12n＝3－2n＋32n，故Tn＝6－2n＋32n－1.