高中数学人教A必修5学业分层测评8等差数列的概念与简单表示Word版含解析

学业分层测评（八）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在等差数列{an}中，a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d等于()A．－2B．－12C.12D．2【解析】∵a7－2a4＝(a3＋4d)－2(a3＋d)＝－a3＋2d，又∵a3＝0，∴2d＝－1，∴d＝－12.【答案】B2．(2015·重庆高考)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1B．0C．1D．6【解析】∵{an}为等差数列，∴2a4＝a2＋a6，∴a6＝2a4－a2，即a6＝2×2－4＝0.【答案】B3．在等差数列{an}中，已知a1＝13，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝()A．50B．51C．52D．53【解析】依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝13，得d＝23.所以an＝a1＋(n－1)d＝13＋(n－1)×23＝23n－13，令an＝35，解得n＝53.【答案】D4．等差数列{an}的公差d0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是()A．an＝2n－2(n∈N*)B．an＝2n＋4(n∈N*)C．an＝－2n＋12(n∈N*)D．an＝－2n＋10(n∈N*)【解析】由a2·a4＝12，a2＋a4＝8，d0⇒a2＝6，a4＝2⇒a1＝8，d＝－2，所以an＝a1＋(n－1)d＝8＋(n－1)(－2)，即an＝－2n＋10(n∈N*)．【答案】D5．下列命题中正确的个数是()(1)若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列；(2)若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列；(3)若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列；(4)若a，b，c成等差数列，则1a，1b，1c可能成等差数列．A．4个B．3个C．2个D．1个【解析】对于(1)，取a＝1，b＝2，c＝3⇒a2＝1，b2＝4，c2＝9，(1)错．对于(2)，a＝b＝c⇒2a＝2b＝2c，(2)正确；对于(3)，∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，(3)正确；对于(4)，a＝b＝c≠0⇒1a＝1b＝1c，(4)正确．综上可知选B.【答案】B二、填空题6．(2015·陕西高考)中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．【解析】设数列首项为a1，则a1＋20152＝1010，故a1＝5.【答案】57．数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n，则实数a＝.【解析】∵{an}是等差数列，∴an＋1－an＝常数，∴[a(n＋1)2＋(n＋1)]－(an2＋n)＝2an＋a＋1＝常数，∴2a＝0，∴a＝0.【答案】08．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝.【解析】设公差为d，则a5－a2＝3d＝6，∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.【答案】13三、解答题9．在等差数列{an}中，已知a1＝112，a2＝116，这个数列在450到600之间共有多少项？【导学号：05920066】【解】由题意，得d＝a2－a1＝116－112＝4，所以an＝a1＋(n－1)d＝112＋4(n－1)＝4n＋108.令450≤an≤600，解得85.5≤n≤123，又因为n为正整数，故有38项．10．数列{an}满足a1＝1，12an＋1＝12an＋1(n∈N*)．(1)求证：数列1an是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【解】(1)证明：由12an＋1＝12an＋1，可得1an＋1－1an＝2，∴数列1an是以1为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)知1an＝1＋(n－1)·2＝2n－1，∴an＝12n－1(n∈N*)．[能力提升]1．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是()A.83，3B.83，3C.83，3D．83，3【解析】设an＝－24＋(n－1)d，由a9＝－24＋8d≤0，a10＝－24＋9d0.解得83d≤3.【答案】C2．在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点(an，an－1)在直线x－y－3＝0上，则()A．an＝3nB．an＝3nC．an＝n－3D．an＝3n2【解析】∵点(an，an－1)在直线x－y－3＝0上，∴an－an－1＝3，即数列{an}是首项为3，公差为3的等差数列．∴数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)3＝3n，∴an＝3n2.【答案】D3．等差数列{an}中，首项为33，公差为整数，若前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为．【解析】由题意可得a7＝a1＋6d0，a8＝a1＋7d0，即33＋6d0，33＋7d0，解得－336d－337，又∵d∈Z，∴d＝－5.∴an＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n.【答案】an＝38－5n(n∈N*)4．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2,…)，λ是常数．(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．【解】(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1.所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)数列{an}不可能为等差数列，证明如下：由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.这与{an}为等差数列矛盾．所以，不存在λ使{an}是等差数列．