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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 高中数学人教A版必修四课时训练11任意角和弧度制112Word版含答案
1.1.2弧度制课时目标1.理解角度制与弧度制的概念,掌握角的不同度量制度,能对弧度和角度进行正确的变换.2.掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.1.角的单位制(1)角度制:规定周角的________为1度的角,用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.(2)弧度制:把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作________.(3)角的弧度数求法:如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l,那么l,α,r之间存在的关系是:____________;这里α的正负由角α的________________决定.正角的弧度数是一个________,负角的弧度数是一个________,零角的弧度数是________.2.角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°=________rad2πrad=________180°=______radπrad=________1°=______rad≈0.01745rad1rad=______≈57°18′3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R,弧长为l,α(0α2π)为其圆心角,则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l=________l=______扇形的面积S=________S=______=______一、选择题1.集合A=α|α=kπ+π2,k∈Z与集合B=α|α=2kπ±π2,k∈Z的关系是()A.A=BB.A⊆BC.B⊆AD.以上都不对2.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是()A.2B.sin2C.2sin1D.2sin13.扇形周长为6cm,面积为2cm2,则其中心角的弧度数是()A.1或4B.1或2C.2或4D.1或54.已知集合A={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈Z},B={α|-4≤α≤4},则A∩B等于()A.∅B.{α|-4≤α≤π}C.{α|0≤α≤π}D.{α|-4≤α≤-π,或0≤α≤π}5.把-114π表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ值是()A.π4B.-π4C.34πD.-34π6.扇形圆心角为π3,半径长为a,则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为()A.1∶3B.2∶3C.4∶3D.4∶9二、填空题7.将-1485°化为2kπ+α(0≤α2π,k∈Z)的形式是________.8.若扇形圆心角为216°,弧长为30π,则扇形半径为____.9.若2πα4π,且α与-7π6角的终边垂直,则α=______.10.若角α的终边与角π6的终边关于直线y=x对称,且α∈(-4π,4π),则α=________________.三、解答题11.把下列各角化成2kπ+α(0≤α2π,k∈Z)的形式,并指出是第几象限角:(1)-1500°;(2)236π;(3)-4.12.已知一扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?能力提升13.已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长,那么其圆心角的弧度数的绝对值为________.14.已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R.(1)若α=60°,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积;(2)若扇形的周长是一定值c(c0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?1.角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°=π”这一关系式.易知:度数×π180=弧度数,弧度数×180π=度数.3.在弧度制下,扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化,具体应用时,要注意角的单位取弧度.1.1.2弧度制答案知识梳理1.(1)1360(2)半径长1rad(3)|α|=lr终边的旋转方向正数负数02.2π360°π180°π180180π°3.απR180αRαπR236012αR212lR作业设计1.A2.C[r=1sin1,∴l=|α|r=2sin1.]3.A[设扇形半径为r,圆心角为α,则2r+αr=612αr2=2,解得r=1α=4或r=2α=1.]4.C[集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上.]5.D[∵-114π=-2π+-34π,∴θ=-34π.]6.B[设扇形内切圆半径为r,则r+rsinπ6=r+2r=a.∴a=3r,∴S内切=πr2.S扇形=12αr2=12×π3×a2=12×π3×9r2=32πr2.∴S内切∶S扇形=2∶3.]7.-10π+74π解析∵-1485°=-5×360°+315°,∴-1485°可以表示为-10π+74π.8.25解析216°=216×π180=6π5,l=α·r=6π5r=30π,∴r=25.9.73π或103π解析-76π+72π=146π=73π,-76π+92π=206π=103π.10.-11π3,-5π3,π3,7π3解析由题意,角α与π3终边相同,则π3+2π=73π,π3-2π=-53π,π3-4π=-113π.11.解(1)-1500°=-1800°+300°=-10π+5π3,∴-1500°与53π终边相同,是第四象限角.(2)236π=2π+116π,∴236π与116π终边相同,是第四象限角.(3)-4=-2π+(2π-4),∴-4与2π-4终边相同,是第二象限角.12.解设扇形的圆心角为θ,半径为r,弧长为l,面积为S,则l+2r=40,∴l=40-2r.∴S=12lr=12×(40-2r)r=20r-r2=-(r-10)2+100.∴当半径r=10cm时,扇形的面积最大,最大值为100cm2,此时θ=lr=40-2×1010=2rad.13.42解析设圆半径为r,则内接正方形的边长为2r,圆弧长为42r.∴圆弧所对圆心角|θ|=42rr=42.14.解(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,∵α=60°=π3,R=10,∴l=αR=10π3(cm).S弓=S扇-S△=12×10π3×10-12×102×sin60°=50π3-32(cm2).(2)扇形周长c=2R+l=2R+αR,∴α=c-2RR,∴S扇=12αR2=12·c-2RR·R2=12(c-2R)R=-R2+12cR=-(R-c4)2+c216.当且仅当R=c4,即α=2时,扇形面积最大,且最大面积是c216.
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