高中数学人教A版必修四课时训练13三角函数的诱导公式13二Word版含答案

§1.3三角函数的诱导公式(二)课时目标1.借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公式六进行有关计算与证明．1．诱导公式五～六(1)公式五：sinπ2－α＝________；cosπ2－α＝________.以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六：sinπ2＋α＝________；cosπ2＋α＝________.2．诱导公式五～六的记忆π2－α，π2＋α的三角函数值，等于α的____________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．一、选择题1．已知f(sinx)＝cos3x，则f(cos10°)的值为()A．－12B.12C．－32D.322．若sin(3π＋α)＝－12，则cos72π－α等于()A．－12B.12C.32D．－323．已知sinα－π4＝13，则cosπ4＋α的值等于()A．－13B.13C.－223D.2234．若sin(π＋α)＋cosπ2＋α＝－m，则cos32π－α＋2sin(2π－α)的值为()A．－2m3B.2m3C．－3m2D.3m25．已知cosπ2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tanφ等于()A．－33B.33C．－3D.36．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是()A.13B.23C．－13D．－23二、填空题7．若sinα＋π12＝13，则cosα＋7π12＝________.8．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是______．9．sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.10．已知tan(3π＋α)＝2，则sinα－3π＋cosπ－α＋sinπ2－α－2cosπ2＋α－sin－α＋cosπ＋α＝________.三、解答题11．求证：tan2π－αsin－2π－αcos6π－αsinα＋3π2cosα＋3π2＝－tanα.12．已知sin－π2－α·cos－5π2－α＝60169，且π4απ2，求sinα与cosα的值．能力提升13．化简：sin4k－14π－α＋cos4k＋14π－α(k∈Z)．14．是否存在角α，β，α∈－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin3π－α＝2cosπ2－β3cos－α＝－2cosπ＋β同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·π2±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．诱导公式统一成“k·π2±α(k∈Z)”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．§1.3三角函数的诱导公式(二)答案知识梳理1．(1)cosαsinα(2)cosα－sinα2．异名符号作业设计1．A[f(cos10°)＝f(sin80°)＝cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－12.]2．A[∵sin(3π＋α)＝－sinα＝－12，∴sinα＝12.∴cos7π2－α＝cos32π－α＝－cosπ2－α＝－sinα＝－12.]3．A[cosπ4＋α＝sinπ2－π4＋α＝sinπ4－α＝－sinα－π4＝－13.]4．C[∵sin(π＋α)＋cosπ2＋α＝－sinα－sinα＝－m，∴sinα＝m2.cos32π－α＋2sin(2π－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－32m.]5．C[由cosπ2＋φ＝－sinφ＝32，得sinφ＝－32，又∵|φ|π2，∴φ＝－π3，∴tanφ＝－3.]6．D[sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－23.]7．－13解析cosα＋7π12＝cosπ2＋α＋π12＝－sinα＋π12＝－13.8．1解析原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A)＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1.9.892解析原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋12＝892.10．2解析原式＝sinαsinα－cosα＝tanαtanα－1＝22－1＝2.11．证明左边＝tan－α·sin－α·cos－αsin2π－π2－α·cos2π－π2－α＝－tanα·－sinα·cosαsin－π2－αcos－π2－α＝sin2α－sinπ2－αcosπ2－α＝sin2α－cosα·sinα＝－sinαcosα＝－tanα＝右边．∴原等式成立．12．解sin－π2－α＝－cosα，cos－5π2－α＝cos2π＋π2＋α＝－sinα.∴sinα·cosα＝60169，即2sinα·cosα＝120169.①又∵sin2α＋cos2α＝1，②①＋②得(sinα＋cosα)2＝289169，②－①得(sinα－cosα)2＝49169，又∵α∈π4，π2，∴sinαcosα0，即sinα＋cosα0，sinα－cosα0，∴sinα＋cosα＝1713，③sinα－cosα＝713，④③＋④得sinα＝1213，③－④得cosα＝513.13．解原式＝sinkπ－π4＋α＋coskπ＋π4－α.当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则原式＝sin2n＋1π－π4＋α＋cos2n＋1π＋π4－α＝sinπ－π4＋α＋cosπ＋π4－α＝sinπ4＋α＋－cosπ4－α＝sinπ4＋α－cosπ2－π4＋α＝sinπ4＋α－sinπ4＋α＝0；当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则原式＝sin2nπ－π4＋α＋cos2nπ＋π4－α＝－sinπ4＋α＋cosπ4－α＝－sinπ4＋α＋cosπ2－π4＋α＝－sinπ4＋α＋sinπ4＋α＝0.综上所述，原式＝0.14．解由条件，得sinα＝2sinβ，①3cosα＝2cosβ.②①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③又因为sin2α＋sin2α＝1，④由③④得sin2α＝12，即sinα＝±22，因为α∈－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4.当α＝π4时，代入②得cosβ＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cosβ＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．