高中数学人教A版必修四课时训练14三角函数的图象与性质142一Word版含答案

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)课时目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求f(x)＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握y＝sinx，y＝cosx的周期性及奇偶性．1．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个______________，使得当x取定义域内的____________时，都有____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的__________________．2．正弦函数、余弦函数的周期性由sin(x＋2kπ)＝________，cos(x＋2kπ)＝________知y＝sinx与y＝cosx都是______函数，____________________都是它们的周期，且它们的最小正周期都是________．3．正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数y＝sinx与余弦函数y＝cosx的定义域都是______，定义域关于________对称．(2)由sin(－x)＝________知正弦函数y＝sinx是R上的______函数，它的图象关于______对称．(3)由cos(－x)＝________知余弦函数y＝cosx是R上的______函数，它的图象关于______对称．一、选择题1．函数f(x)＝3sin(x2－π4)，x∈R的最小正周期为()A.π2B．πC．2πD．4π2．函数f(x)＝sin(ωx＋π6)的最小正周期为π5，其中ω0，则ω等于()A．5B．10C．15D．203．设函数f(x)＝sin2x－π2，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数4．下列函数中，不是周期函数的是()A．y＝|cosx|B．y＝cos|x|C．y＝|sinx|D．y＝sin|x|5．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈－π2，0时，f(x)＝sinx，则f－5π3的值为()A．－12B.12C．－32D.326．函数y＝cos(sinx)的最小正周期是()A.π2B．πC．2πD．4π题号123456答案二、填空题7．函数f(x)＝sin(2πx＋π4)的最小正周期是________．8．函数y＝sinωx＋π4的最小正周期是2π3，则ω＝______.9．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sinx，则f(x)的解析式是______________．10．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下命题：①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；③存在φ，使f(x)是奇函数；④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．其中的假命题的序号是________．三、解答题11．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝cosπ2＋2xcos(π＋x)；(2)f(x)＝1＋sinx＋1－sinx；(3)f(x)＝esinx＋e－sinxesinx－e－sinx.12．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈[0，π2]时，f(x)＝1－sinx，求当x∈[52π，3π]时f(x)的解析式．能力提升13．欲使函数y＝Asinωx(A0，ω0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则ω的最小值是________．14．判断函数f(x)＝ln(sinx＋1＋sin2x)的奇偶性．1．求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T.如y＝|sinx|.(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω0，x∈R)的周期T＝2πω.2．判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称．1．4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)答案知识梳理1．(1)非零常数T每一个值f(x＋T)＝f(x)(2)最小正周期2．sinxcosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2π3．(1)R原点(2)－sinx奇原点(3)cosx偶y轴作业设计1．D2.B3．B[∵sin2x－π2＝－sinπ2－2x＝－cos2x，∴f(x)＝－cos2x.又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos2x＝f(x)，∴f(x)的最小正周期为π的偶函数．]4．D[画出y＝sin|x|的图象，易知．]5．D[f－5π3＝fπ3＝－f－π3＝－sin－π3＝sinπ3＝32.]6．B[cos[sin(x＋π)]＝cos(－sinx)＝cos(sinx)．∴T＝π.]7．18．±3解析2π|ω|＝2π3，∴|ω|＝3，∴ω＝±3.9．f(x)＝sin|x|解析当x0时，－x0，f(－x)＝sin(－x)＝－sinx，∵f(－x)＝f(x)，∴x0时，f(x)＝－sinx.∴f(x)＝sin|x|，x∈R.10．①④解析易知②③成立，令φ＝π2，f(x)＝cosx是偶函数，①④都不成立．11．解(1)x∈R，f(x)＝cosπ2＋2xcos(π＋x)＝－sin2x·(－cosx)＝sin2xcosx.∴f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin2xcosx＝－f(x)．∴y＝f(x)是奇函数．(2)对任意x∈R，－1≤sinx≤1，∴1＋sinx≥0,1－sinx≥0.∴f(x)＝1＋sinx＋1－sinx定义域为R.∵f(－x)＝1＋sin－x＋1－sin－x＝1＋sinx＋1－sinx＝f(x)，∴y＝f(x)是偶函数．(3)∵esinx－e－sinx≠0，∴sinx≠0，∴x∈R且x≠kπ，k∈Z.∴定义域关于原点对称．又∵f(－x)＝esin－x＋e－sin－xesin－x－e－sin－x＝e－sinx＋esinxe－sinx－esinx＝－f(x)，∴该函数是奇函数．12．解x∈[52π，3π]时，3π－x∈[0，π2]，∵x∈[0，π2]时，f(x)＝1－sinx，∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx.又∵f(x)是以π为周期的偶函数，∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，∴f(x)的解析式为f(x)＝1－sinx，x∈[52π，3π]．13.1992π解析要使y在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则y在[0,1]上至少含4934个周期，即4934T≤1T＝2πω，解得ω≥1992π.14．解∵sinx＋1＋sin2x≥sinx＋1≥0，若两处等号同时取到，则sinx＝0且sinx＝－1矛盾，∴对x∈R都有sinx＋1＋sin2x0.∵f(－x)＝ln(－sinx＋1＋sin2x)＝ln(1＋sin2x－sinx)＝ln(1＋sin2x＋sinx)－1＝－ln(sinx＋1＋sin2x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．