高中数学人教A版选修11学业分层测评10双曲线的简单几何性质Word版含解析

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．双曲线x29－y216＝1的渐近线方程是()A．4x±3y＝0B．16x±9y＝0C．3x±4y＝0D．9x±16y＝0【解析】由题意知，双曲线焦点在x轴上，且a＝3，b＝4，∴渐近线方程为y＝±43x，即4x±3y＝0.【答案】A2．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是()A．x2－y2＝8B．x2－y2＝4C．y2－x2＝8D．y2－x2＝4【解析】令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，∴c＝4，a2＝b2＝12c2＝12×16＝8，故选A.【答案】A3．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±2xC．y＝±22xD．y＝±12x【解析】由已知，得b＝1，c＝3，a＝c2－b2＝2.因为双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为y＝±bax＝±22x.【答案】C4．(2014·全国卷Ⅰ)已知双曲线x2a2－y23＝1(a0)的离心率为2，则a＝()A．2B.62C.52D．1【解析】由题意得e＝a2＋3a＝2，∴a2＋3＝2a，∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1.【答案】D5．与曲线x224＋y249＝1共焦点，且与曲线x236－y264＝1共渐近线的双曲线的方程为()A.y216－x29＝1B.x216－y29＝1C.y29－x216＝1D.x29－y216＝1【解析】根据椭圆方程可知焦点为(0，－5)，(0,5)．设所求双曲线方程为x236－y264＝λ(λ＜0)，即y2－64λ－x2－36λ＝1.由－64λ＋(－36λ)＝25，得λ＝－14.故所求双曲线的方程为y216－x29＝1.【答案】A二、填空题6．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．【解析】由三角形相似或平行线分线段成比例定理得26＝ac，∴ca＝3，即e＝3.【答案】37．直线3x－y＋3＝0被双曲线x2－y2＝1截得的弦AB的长是________．【解析】联立消去y，得x2＋3x＋2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－3，x1x2＝2，∴|AB|＝1＋32·－32－4×2＝2.【答案】28．若直线x＝2与双曲线x2－y2b2＝1(b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B，且△AOB的面积为8，则焦距为________.【导学号：26160051】【解析】由双曲线为x2－y2b2＝1得渐近线为y＝±bx，则交点A(2,2b)，B(2，－2b)．∵S△AOB＝12×2×4b＝8，∴b＝2.又a2＝1，∴c2＝a2＋b2＝5.∴焦距2c＝25.【答案】25三、解答题9．已知双曲线C的方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，离心率e＝52，顶点到渐近线的距离为255，求双曲线C的方程．【解】依题意，双曲线的焦点在y轴上，顶点坐标为(0，a)，渐近线方程为y＝±abx，即ax±by＝0，所以aba2＋b2＝abc＝255.又e＝ca＝52，所以b＝1，即c2－a2＝1，52a2－a2＝1，解得a2＝4，故双曲线方程为y24－x2＝1.10．双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在点P，使|PF1|＝2|PF2|，试确定双曲线离心率的取值范围．【解】由题意知在双曲线上存在一点P，使得|PF1|＝2|PF2|，如图所示．又∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a，即在双曲线右支上恒存在点P，使得|PF2|＝2a，即|AF2|≤2a.∴|OF2|－|OA|＝c－a≤2a，∴c≤3a.又∵c＞a，∴a＜c≤3a，∴1＜ca≤3，即1＜e≤3.[能力提升]1．双曲线x24＋y2k＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是()A．(－10,0)B．(－12,0)C．(－3,0)D．(－60，－12)【解析】双曲线方程化为x24－y2－k＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝ca＝4－k2，又∵e∈(1,2)，∴14－k22，解得－12k0.【答案】B2．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为()A.x23－y26＝1B.x24－y25＝1C.x26－y23＝1D.x25－y24＝1【解析】设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，两式作差得y1－y2x1－x2＝b2x1＋x2a2y1＋y1＝－12b2－15a2＝4b25a2，又AB的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是x24－y25＝1.【答案】B3．已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1→·PF2→的最小值为________．【解析】由题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则PA1→＝(－1－x，－y)，PF2→＝(2－x，－y)，∴PA1→·PF2→＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2－x－2＋y2，由双曲线方程得y2＝3x2－3，代入上式得PA1→·PF2→＝4x2－x－5＝4x－182－8116，又x≥1，所以当x＝1时，PA1→·PF2→取得最小值，且最小值为－2.【答案】－24．(2016·荆州高二检测)双曲线C的中点在原点，右焦点为F233，0，渐近线方程为y＝±3x.(1)求双曲线C的方程；【导学号：26160052】(2)设直线L：y＝kx＋1与双曲线交于A，B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？【解】(1)设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，由焦点坐标得c＝233，渐近线方程为y＝±bax＝±3x，结合c2＝a2＋b2得a2＝13，b2＝1，所以双曲线C的方程为x213－y2＝1，即3x2－y2＝1.(2)由y＝kx＋1，3x2－y2＝1，得(3－k2)x2－2kx－2＝0，由Δ0，且3－k2≠0，得－6k6，且k≠±3.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0.又x1＋x2＝－2kk2－3，x1x2＝2k2－3，所以y1y2＝(kx1＋1)·(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝1，所以2k2－3＋1＝0，解得k＝±1.