高中数学人教A版选修11章末综合测评2Word版含解析

章末综合测评(二)圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y＝－18x2的准线方程是()A．x＝132B．y＝2C．y＝132D．y＝－2【解析】将y＝－18x2化为标准形式为x2＝－8y，故准线方程为y＝2.【答案】B2．(2015·安徽高考)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是()A．x2－y24＝1B.x24－y2＝1C．x2－y22＝1D.x22－y2＝1【解析】法一由渐近线方程为y＝±2x，可得y2＝±x，所以双曲线的标准方程可以为x2－y24＝1或y24－x2＝1，舍去.法二A中的渐近线方程为y＝±2x；B中的渐近线方程为y＝±12x；C中的渐近线方程为y＝±2x；D中的渐近线方程为y＝±22x.故选A.【答案】A3．(2015·湖南高考)若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A.73B.54C.43D.53【解析】由双曲线的渐近线过点(3，－4)知ba＝43，∴b2a2＝169.又b2＝c2－a2，∴c2－a2a2＝169，即e2－1＝169，∴e2＝259，∴e＝53.【答案】D4．抛物线y2＝14x关于直线x－y＝0对称的抛物线的焦点坐标是()【导学号：26160065】A．(1,0)B.0，116C．(0,1)D.116，0【解析】∵y2＝14x的焦点坐标为116，0，∴关于直线y＝x对称后抛物线的焦点为0，116.【答案】B5．设F1，F2是双曲线x23－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，PF1→·PF2→的值为()A．2B．3C．4D．6【解析】设P(x0，y0)，又F1(－2,0)，F2(2,0)，∴PF1→＝(－2－x0，－y0)，PF2→＝(2－x0，－y0)．|F1F2|＝4.S△PF1F2＝12|F1F2|·|y0|＝2，∴|y0|＝1.又x203－y20＝1，∴x20＝3(y20＋1)＝6，∴PF1→·PF2→＝x20＋y20－4＝6＋1－4＝3.【答案】B6．(2016·泰安高二检测)有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是()A．23pB．43pC．63pD．83p【解析】设A、B在y2＝2px上，另一个顶点为O，则A、B关于x轴对称，则∠AOx＝30°，则OA的方程为y＝33x.由y＝33x，y2＝2px，得y＝23p，∴△AOB的边长为43p.【答案】B7．已知|AB→|＝3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，OP→＝13OA→＋23OB→，则动点P的轨迹方程是()A.x24＋y2＝1B．x2＋y24＝1C.x29＋y2＝1D．x2＋y29＝1【解析】设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)＝13(0，y0)＋23(x0,0)，即x＝23x0，y＝13y0，所以x0＝32x，y0＝3y.因为|AB→|＝3，所以x20＋y20＝9，即32x2＋(3y)2＝9，化简整理得动点P的轨迹方程是x24＋y2＝1.【答案】A8．AB为过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的中心的弦F1为一个焦点，则△ABF1的最大面积是(c为半焦距)()A．acB．abC．bcD．b2【解析】△ABF1的面积为c·|yA|，因此当|yA|最大，即|yA|＝b时，面积最大．故选C.【答案】C9．若F1，F2是椭圆x29＋y27＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为()A．7B.72C.74D.752【解析】|F1F2|＝22，|AF1|＋|AF2|＝6，则|AF2|＝6－|AF1|，|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，即(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8，解得|AF1|＝72，所以S＝12×72×22×22＝72.【答案】B10．(2015·重庆高考)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A．±12B．±22C．±1D．±2【解析】由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，Bc，b2a，Cc，－b2a.∵A1B⊥A2C，∴b2ac＋a·－b2ac－a＝－1，整理得a＝b.∵渐近线方程为y＝±bax，即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1.【答案】C11．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积是()A．32B．22C.2D.322【解析】如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知：点A到准线x＝－1的距离为3，∴点A的横坐标为2.将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知点A的纵坐标y＝22，∴A(2,22)，∴直线AF的方程为y＝22(x－1)．联立直线与抛物线的方程y＝22x－1，y2＝4x，解之得x＝12，y＝－2或x＝2，y＝22.由图知B12，－2，∴S△AOB＝12|OF|·|yA－yB|＝12×1×|22＋2|＝322.【答案】D12．已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－y24＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则()A．a2＝132B．a2＝13C．b2＝12D．b2＝2【解析】由题意，知a2＝b2＋5，因此椭圆方程为(a2－5)x2＋a2y2＋5a2－a4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，联立方程消去y，得(5a2－5)x2＋5a2－a4＝0，∴直线截椭圆的弦长d＝5×2a4－5a25a2－5＝23a，解得a2＝112，b2＝12，故选C.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．(2015·北京高考)已知(2,0)是双曲线x2－y2b2＝1(b0)的一个焦点，则b＝________.【解析】由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c＝2.根据双曲线的标准方程，可知a2＝1.又c2＝a2＋b2，所以b2＝3.又b0，所以b＝3.【答案】314．设F1，F2为曲线C1：x26＋y22＝1的焦点，P是曲线C2：x23－y2＝1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为________．【解析】由题意知|F1F2|＝26－2＝4，设P点坐标为(x，y)．由x26＋y22＝1，x23－y2＝1，得x＝±322，y＝±22.则S△PF1F2＝12|F1F2|·|y|＝12×4×22＝2.【答案】215.如图1，已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点恰好是椭圆x2a2＋y2b2＝1的右焦点F，且两条曲线的交点连线也经过焦点F，则该椭圆的离心率为________．图1【解析】由条件知，c＝p2，∴其中一个交点坐标为(c,2c)，∴c2a2＋4c2b2＝1，∴e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3±22，∴e＝±(2±1)．又0e1，故e＝2－1.【答案】2－116．(2015·上海高考)已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为x24－y2＝1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为________．【解析】因为C1的方程为x24－y2＝1，所以C1的一条渐近线的斜率k1＝12，所以C2的一条渐近线的斜率k2＝1，因为双曲线C1、C2的顶点重合，即焦点都在x轴上，设C2的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，所以a＝b＝2，所以C2的方程为x24－y24＝1.【答案】x24－y24＝1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．【解】由共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，可设椭圆方程为y2a2＋x2a2－25＝1，双曲线方程为y2b2－x225－b2＝1(b0)．点P(3,4)在椭圆上，则16a2＋9a2－25＝1，得a2＝40，双曲线过点P(3,4)的渐近线方程为y＝b25－b2x，即4＝b25－b2×3，得b2＝16.所以椭圆方程为y240＋x215＝1，双曲线方程为y216－x29＝1.18．(本小题满分12分)(2016·厦门高二检测)已知直线l：y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点，(1)若|AB|＝10，求m的值；(2)若OA⊥OB，求m的值．【解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(1)y＝x＋m，y2＝8x⇒x2＋(2m－8)x＋m2＝0⇒Δ＝2m－82－4m2＞0，x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2.|AB|＝2|x1－x2|＝2x1＋x22－4x1x2＝10，得m＝716，∵m＜2，∴m＝716.(2)∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0.x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝0，2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0，2m2＋m(8－2m)＋m2＝0，m2＋8m＝0，m＝0或m＝－8.经检验m＝－8.19．(本小题满分12分)已知双曲线过点P()－32，4，它的渐近线方程为y＝±43x.(1)求双曲线的标准方程；(2)设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝41，求∠F1PF2的余弦值．【解】(1)由渐近线方程知，双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为－32的点P′的纵坐标的绝对值为42.∵424，∴双曲线的焦点在x轴上，设方程为x2a2－y2b2＝1.∵双曲线过点P(－32，4)，∴18a2－16b2＝1.①又ba＝43，②由①②，得a2＝9，b2＝16，∴所求的双曲线方程为x29－y216＝1.(2)设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，则d1·d2＝41.又由双曲线的几何性质知，|d1－d2|＝2a＝6.由余弦定理，得cos∠F1PF2＝d21＋d22－|F1F2|22d1d2＝d1－d22＋2d1d2－|F1F2|22d1d2＝941.20．(本小题满分12分)(2015·安徽高考)设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为510.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.【导学号：26160066】【解】(1)由题设条件知，点M的坐标为23a，13b，又kOM＝510，从而b2a＝510.进而a＝5b，c＝a2－b2＝2b，故e＝ca＝255.(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为a2，－b2，可得NM→＝a6，5b6.又AB→＝(－a，b)，从而有AB→·NM→＝－16a2＋56b2＝16(5b2－a2)．由(1)的计算结果可知a2＝5b2，所以AB→·NM→＝0，故MN⊥AB.21．(本小题满分12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点F及点A(0，b)，原点O到直线FA的距离为22b.(1)求椭圆C的离心率e；(2)若点F关于直线l：2x＋y＝0的对称点P在圆O：x2＋y2＝4上，求椭圆C的方程及点P的坐标．【解】(1)由点F(－ae,0)，点A(0，b)，及b＝1－e2a，得直线FA的方程为x－ae＋y1－e2a＝1，即