高中数学人教A版选修11第一章常用逻辑用语学业分层测评5Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列命题是“∀x∈R，x2＞3”的表述方法的是()A．有一个x∈R，使得x2＞3B．对有些x∈R，使得x2＞3C．任选一个x∈R，使得x2＞3D．至少有一个x∈R，使得x2＞3【答案】C2．下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是()A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2＞0C．任意无理数的平方必是无理数D．存在一个负数x，使1x＞2【解析】只有A，C两个选项中的命题是全称命题，且A显然为真命题．因为2是无理数，而(2)2＝2不是无理数，所以C为假命题．【答案】A3．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x＞0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数．下列说法正确的是()A．四个命题都是真命题B．①②是全称命题C．②③是特称命题D．四个命题中有两个是假命题【答案】C4．(2014·湖南高考)设命题p：∀x∈R，x2＋10，则¬p为()A．∃x0∈R，x20＋10B．∃x0∈R，x20＋1≤0C．∃x0∈R，x20＋10D．∀x∈R，x2＋1≤0【解析】根据全称命题的否定为特称命题知B正确．【答案】B5．下列四个命题：p1：∃x∈(0，＋∞)，12x＜13x；p2：∃x∈(0,1)，log12x＞log13x；p3：∀x∈(0，＋∞)，12x＞log12x；p4：∀x∈0，13，12x＜log13x.其中的真命题是()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【解析】取x＝12，则log12x＝1，log13x＝log32＜1，p2正确．当x∈0，13时，12x＜1，而log13x＞1，p4正确．【答案】D二、填空题6．(2016·大同二诊)已知命题p：“∃x0∈R，sinx01”，则¬p为________．【解析】根据特称命题的否定为全称命题，并结合不等式符号的变化即可得出¬p为∀x∈R，sinx≤1.【答案】∀x∈R，sinx≤17．若∀x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________．【解析】由题意知，0a2－11，∴a2－11，a2－10，即a22，a21，解得－2a2，a1或a－1，∴1a2或－2a－1.【答案】(－2，－1)∪(1,2)8．若“∃x0∈R，x20＋2x0＋2＝m”是真命题，则实数m的取值范围是________.【导学号：26160023】【解析】由于“∃x0∈R，x20＋2x0＋2＝m”是真命题，则实数m的取值集合就是二次函数f(x)＝x2＋2x＋2的值域，即{m|m≥1}．【答案】[1，＋∞)三、解答题9．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)有一个实数α，使sin2α＋cos2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)对于任意的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有唯一解；(4)存在实数x0，使得x0≤0.【解】(1)是一个特称命题，用符号表示为：∃α∈R，使sin2α＋cos2α≠1，假命题．(2)是一个全称命题，用符号表示为：∀直线l，l都存在斜率，假命题．(3)是一个全称命题，用符号表示为：∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有唯一解，假命题．(4)是一个特称命题，用符号表示为：∃x0∈R，使得x0≤0，真命题．10．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．【解】(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是特称命题且为真命题．命题的否定：任意一个四边形都是平行四边形．[能力提升]1．(2015·浙江高考)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)n0D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)n0【解析】写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．【答案】D2．(2015·合肥二模)已知命题p：∀x∈R,2x3x，命题q：∃x0∈R，x30＝1－x20，则下列命题中为真命题的是()A．p∧qB．p∧(¬q)C．(¬p)∧qD．(¬p)∧(¬q)【解析】对于命题p，当x＝0时，20＝30＝1，所以命题p为假命题，¬p为真命题；对于命题q，作出函数y＝x3与y＝1－x2的图象，可知它们在(0,1)上有一个交点，所以命题q为真命题，所以(¬p)∧q为真命题，故选C.【答案】C3．(2016·西城期末)已知命题p：∃x0∈R，ax20＋x0＋12≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．【解析】因为命题p是假命题，所以¬p为真命题，即∀x∈R，ax2＋x＋120恒成立．当a＝0时，x－12，不满足题意；当a≠0时，要使不等式恒成立，则有a0，Δ0，即a0，1－4×12×a0，解得a0，a12，所以a12，即实数a的取值范围是12，＋∞.【答案】12，＋∞4．(2016·日照高二检测)已知p：∀x∈R,2xm(x2＋1)，q：∃x0∈R，x20＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围.【导学号：26160024】【解】2xm(x2＋1)可化为mx2－2x＋m0.若p：∀x∈R,2xm(x2＋1)为真，则mx2－2x＋m0对任意的x∈R恒成立．当m＝0时，不等式可化为－2x0，显然不恒成立；当m≠0时，有m0，Δ＝4－4m20，所以m－1.若q：∃x0∈R，x20＋2x0－m－1＝0为真，则方程x20＋2x0－m－1＝0有实根，所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2.又p∧q为真，故p，q均为真命题．所以m－1且m≥－2，所以－2≤m－1.