高中数学人教A版选修11第二章圆锥曲线与方程学业分层测评6Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．椭圆x216＋y225＝1的焦点坐标是()A．(±4,0)B．(0，±4)C．(±3,0)D．(0，±3)【解析】根据椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在y轴上，所以对应的焦点坐标为(0，±3)，故选D.【答案】D2．如果方程x2a2＋y2a＋6＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()A．a3B．a－2C．a3或a－2D．a3或－6a－2【解析】由a2a＋60，得a2－a－60，a＋60，所以a－2或a3，a－6，所以a3或－6a－2.【答案】D3．已知a＝13，c＝23，则该椭圆的标准方程为()A.x213＋y212＝1B.x213＋y225＝1或x225＋y213＝1C.x213＋y2＝1D.x213＋y2＝1或x2＋y213＝1【解析】a＝13，c＝23，∴b2＝(13)2－(23)2＝1，a2＝13，而由于焦点不确定，∴D正确．【答案】D4．已知圆x2＋y2＝1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线，垂足为P′，则PP′的中点M的轨迹方程是()A．4x2＋y2＝1B．x2＋y214＝1C.x24＋y2＝1D．x2＋y24＝1【解析】设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x＝x02，y＝y0.∵P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，∴x20＋y20＝1.①将x0＝2x，y0＝y代入方程①，得4x2＋y2＝1.故选A.【答案】A5．椭圆x225＋y29＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于()A．2B．4C．8D.32【解析】如图，F2为椭圆的右焦点，连接MF2，则ON是△F1MF2的中位线，∴|ON|＝12|MF2|，又|MF1|＝2，|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，∴|MF2|＝8，∴|ON|＝4.【答案】B二、填空题6．椭圆x2m＋y24＝1的焦距是2，则m的值是________．【解析】当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，∴c＝1.∴m－4＝1，m＝5.当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，∴c2＝4－m＝1，∴m＝3.【答案】3或57．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为________.【导学号：26160032】【解析】法一：依题意，可设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．从而有c＝2，2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，解得c＝2，a＝4.又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的标准方程为x216＋y212＝1.法二：依题意，可设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则4a2＋9b2＝1，a2－b2＝4，解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16，所以椭圆C的标准方程为x216＋y212＝1.【答案】x216＋y212＝18．椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．【解析】由|PF1|＋|PF2|＝6，且|PF1|＝4，知|PF2|＝2.在△PF1F2中，cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝－12.∴∠F1PF2＝120°.【答案】2120°三、解答题9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆上一点P(3,2)到两焦点的距离之和为8；(2)椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9或15.【解】(1)①若焦点在x轴上，可设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由题意知2a＝8，∴a＝4，又点P(3,2)在椭圆上，∴916＋4b2＝1，得b2＝647.∴椭圆的标准方程为x216＋y2647＝1.②若焦点在y轴上，设椭圆标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．∵2a＝8，∴a＝4，又点P(3,2)在椭圆上，∴416＋9b2＝1，得b2＝12.∴椭圆的标准方程为y216＋x212＝1.由①②知椭圆的标准方程为x216＋y2647＝1或y216＋x212＝1.(2)由题意知，2c＝16,2a＝9＋15＝24，∴a＝12，c＝8，b2＝80.又焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，∴所求方程为x2144＋y280＝1或y2144＋x280＝1.10．已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长为18，求这个三角形顶点A的轨迹方程．【解】以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系．由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4,0)．由|AB|＋|BC|＋|AC|＝18，得|AB|＋|AC|＝10＞|BC|＝8.因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a＝10，即a＝5，且点A不能在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝9.所以点A的轨迹方程为x225＋y29＝1(y≠0)．[能力提升]1．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝23，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为()A.x212＋y29＝1B.x212＋y29＝1或x29＋y212＝1C.x29＋y212＝1D.x248＋y245＝1或x245＋y248＝1【解析】由已知2c＝|F1F2|＝23，∴c＝3.∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝43，∴a＝23，∴b2＝a2－c2＝9.故椭圆C的标准方程是x212＋y29＝1或x29＋y212＝1.故选B.【答案】B2．(2016·银川高二检测)已知△ABC的顶点B，C在椭圆x24＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．2B．4C．8D．16【解析】设A为椭圆的左焦点，而BC边过右焦点F，如图．可知|BA|＋|BF|＝2a，|CA|＋|CF|＝2a，两式相加得|AB|＋|BF|＋|CA|＋|CF|＝|AB|＋|AC|＋|BC|＝4a.而椭圆标准方程为x24＋y2＝1，因此a＝2，故4a＝8，故选C.【答案】C3．(2016·苏州高二检测)P为椭圆x2100＋y264＝1上一点，左、右焦点分别为F1，F2，若∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．【解析】设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，由椭圆定义，得r1＋r2＝20.①由余弦定理，得(2c)2＝r21＋r22－2r1r2cos60°，即r21＋r22－r1r2＝144，②由①2－②，得3r1r2＝256，∴S△PF1F2＝12r1r2sin60°＝12×2563×32＝6433.【答案】64334．(2016·南京高二检测)设F1，F2分别是椭圆x24＋y2＝1的两焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．(1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1→|·|PF2→|的最大值；(2)若C为椭圆上异于B的一点，且BF1→＝λCF1→，求λ的值；(3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值.【导学号：26160033】【解】(1)因为椭圆的方程为x24＋y2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝3，即|F1F2|＝23，又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，所以|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋|PF2|22＝422＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”，所以|PF1|·|PF2|的最大值为4，即|PF1→|·|PF2→|的最大值为4.(2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－3，0)，由BF1→＝λCF1→得x0＝31－λλ，y0＝－1λ.又x204＋y20＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0，解得λ＝－7或λ＝1，又BF1→与CF1→方向相反，故λ＝1舍去，即λ＝－7.(3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8.