高中数学人教A版选修21第二章圆锥曲线与方程221Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·潍坊高二检测)如果方程x2a2＋y2a＋6＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()A．(3，＋∞)B．(－∞，－2)C．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D．(3，＋∞)∪(－6，－2)【解析】由于椭圆的焦点在x轴上，所以a2＞a＋6，a＋6＞0，即（a＋2）（a－3）＞0，a＞－6.解得a＞3或－6＜a＜－2，故选D.【答案】D2．已知椭圆过点P35，－4和点Q－45，3，则此椭圆的标准方程是()A.y225＋x2＝1B.x225＋y2＝1或x2＋y225＝1C.x225＋y2＝1D．以上都不对【解析】设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)，则925m＋16n＝1，1625m＋9n＝1，∴m＝1，n＝125.∴椭圆的方程为x2＋y225＝1.【答案】A3．(2016·合肥高二月考)设F1，F2是椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于()A．5B．4C．3D．1【解析】由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(25)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为12|PF1|·|PF2|＝12×4×2＝4，故选B.【答案】B4．椭圆mx2＋ny2＝－mn(mn0)的焦点坐标为()【导学号：18490042】A．(0，±m－n)B．(±m－n，0)C．(0，±n－m)D．(±n－m，0)【解析】将mx2＋ny2＝－mn(mn0)化成标准方程得x2－n＋y2－m＝1，由mn0⇒－m－n0，得焦点在y轴上，即a2＝－m，b2＝－n，得c2＝a2－b2＝n－m，故选C.【答案】C5．设P是椭圆x216＋y212＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【解析】由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，又|F1F2|＝2c＝216－12＝4，即|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2，∴△PF1F2为直角三角形．【答案】B二、填空题6．已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面积为9，则b＝________．【解析】依题意，有|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|·|PF2|＝18，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3.【答案】37．已知椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为________．【解析】法一：依题意，可设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，且可知左焦点为F′(－2，0)．从而有c＝2，2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，解得c＝2，a＝4.又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的标准方程为x216＋y212＝1.法二：依题意，可设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则4a2＋9b2＝1，a2－b2＝4，解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16，所以椭圆C的标准方程为x216＋y212＝1.【答案】x216＋y212＝18．已知P是椭圆x24＋y23＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹方程是________．【解析】如图，依题意，|PF1|＋|PF2|＝2a(a是常数且a＞0)．又|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PQ|＝2a，即|QF1|＝2a.由题意知，a＝2，b＝3，c＝a2－b2＝4－3＝1.∴|QF1|＝4，F1(－1，0)，∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，4为半径的圆，∴动点Q的轨迹方程是(x＋1)2＋y2＝16.【答案】(x＋1)2＋y2＝16三、解答题9．设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点．设椭圆C上一点3，32到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．【解】∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，∴2a＝4，a2＝4，∵点3，32是椭圆上的一点，∴（3）24＋322b2＝1，∴b2＝3，∴c2＝1，∴椭圆C的方程为x24＋y23＝1.焦点坐标分别为(－1，0)，(1，0)．10．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.【导学号：18490043】【解】(1)由焦距是4，可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．由椭圆的定义知，2a＝32＋（2＋2）2＋32＋（2－2）2＝8，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为y216＋x212＝1.(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又因为c∶a＝5∶13，所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x2169＋y2144＝1或y2169＋x2144＝1.[能力提升]1．“0t1”是“曲线x2t＋y21－t＝1表示椭圆”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】曲线x2t＋y21－t＝1表示椭圆等价于t0，1－t0，t≠1－t，得t∈0，12∪12，1.故选B.【答案】B2．已知椭圆x212＋y23＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若线段PF1的中点在y轴上，则|PF1|是|PF2|的()A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍【解析】由已知F1(－3，0)，F2(3，0)，由条件，知P3，±32，即|PF2|＝32.由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝43.所以|PF1|＝732.所以|PF1|＝7|PF2|.【答案】A3．椭圆x212＋y23＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是________．【解析】由条件可取F1(－3，0)，∵PF1的中点在y轴上，∴设P(3，y0)，由P在椭圆x212＋y23＝1上得y0＝±32，∴M的坐标为0，±34.【答案】±344．设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆C相交于A，B两点(如图2­2­3)，∠F1F2B＝2π3，△F1F2A的面积是△F1F2B面积的2倍．若|AB|＝152，求椭圆C的方程.【导学号：18490044】图2­2­3【解】由题意可得S△F1F2A＝2S△F1F2B，∴|F2A|＝2|F2B|，由椭圆的定义得|F1B|＋|F2B|＝|F1A|＋|F2A|＝2a，设|F2A|＝2|F2B|＝2m，在△F1F2B中，由余弦定理得(2a－m)2＝4c2＋m2－2·2c·m·cos2π3⇒m＝2（a2－c2）2a＋c.在△F1F2A中，同理可得m＝a2－c22a－c，所以2（a2－c2）2a＋c＝a2－c22a－c，解得2a＝3c，可得m＝5c8，|AB|＝3m＝15c8＝152，c＝4.由ca＝23，得a＝6，b2＝20，所以椭圆C的方程为x236＋y220＝1.