高中数学人教A版选修21第二章圆锥曲线与方程242Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于()A．2B．1C．4D．8【解析】抛物线y2＝2px(p0)的准线为x＝－p2，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p＝4，即焦点F到抛物线的距离等于4，故选C.【答案】C2．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为()A．23B．4C．6D．43【解析】据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线．设Pm24，m，则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋m24，又由F(1，0)，|PM|＝|FM|，得1＋m24＝（1＋1）2＋m2，得m＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D.【答案】D3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得y21＝2px1，①y22＝2px2，②①－②得，(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)．又∵y1＋y2＝4，∴y1－y2x1－x2＝2p4＝p2＝k＝1，∴p＝2.∴所求抛物线的准线方程为x＝－1.【答案】B4．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝()A.303B．6C．12D．73【解析】焦点F的坐标为34，0，直线AB的斜率为33，所以直线AB的方程为y＝33x－34，即y＝33x－34，代入y2＝3x，得13x2－72x＋316＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝212，所以|AB|＝x1＋x2＋32＝212＋32＝12，故选C.【答案】C5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于()A．10B．8C．6D．4【解析】由题意知p＝2，|AB|＝x1＋x2＋p＝8.故选B.【答案】B二、填空题6．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．【解析】设抛物线上点的坐标为(x，±x)，此点到准线的距离为x＋14，到顶点的距离为x2＋（x）2，由题意有x＋14＝x2＋（x）2，∴x＝18，∴y＝±24，∴此点坐标为18，±24.【答案】18，±247．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．【解析】当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.【答案】0或18．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________.【导学号：18490074】【解析】设机器人为A(x，y)，依题意得点A在以F(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2＝4x.过点P(－1，0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)．由y2＝4x，y＝kx＋k，得ky2－4y＋4k＝0.当k＝0时，显然不符合题意；当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k0，化简得k2－10，解得k1或k－1，因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)三、解答题9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝17，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．【解】设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，设A(x0，y0)，由题知M0，－p2.∵|AF|＝3，∴y0＋p2＝3，∵|AM|＝17，∴x20＋y0＋p22＝17，∴x20＝8，代入方程x20＝2py0，得8＝2p3－p2，解得p＝2或p＝4.∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.10．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．【解】(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝3.又F32，0，所以直线l的方程为y＝3x－32.联立y2＝6x，y＝3x－32，消去y得x2－5x＋94＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x＝－32，所以M到准线的距离为3＋32＝92.[能力提升]1．(2016·菏泽期末)已知抛物线x2＝2py(p0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A，B两点，若|AF||BF|∈(0，1)，则|AF||BF|＝()A.15B.14C.13D.12【解析】因为抛物线的焦点为F0，p2，故过点F且倾斜角为30°的直线的方程为y＝33x＋p2，与抛物线方程联立得x2－233px－p2＝0，解方程得xA＝－33p，xB＝3p，所以|AF||BF|＝|xA||xB|＝13，故选C.【答案】C2．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2，2)，过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若MA→·MB→＝0，则k＝()A.12B.22C.2D．2【解析】由题意可知抛物线的焦点坐标为(2，0)，则过焦点且斜率为k的直线的方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4＋8k2，x1x2＝4，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝8k，y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16，因为MA→·MB→＝0，所以(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2，故选D.【答案】D3．抛物线x2＝2py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线x23－y23＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．【解析】由于x2＝2py(p0)的准线为y＝－p2，由y＝－p2，x2－y2＝3，解得准线与双曲线x2－y2＝3的交点为A－3＋14p2，－p2，B3＋14p2，－p2，所以AB＝23＋14p2.由△ABF为等边三角形，得32AB＝p，解得p＝6.【答案】64．已知抛物线x＝－y2与过点(－1，0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△OAB的面积等于10时，求k的值.【导学号：18490075】【解】过点(－1，0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，由方程组x＝－y2，y＝k（x＋1），消去x，整理得ky2＋y－k＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数之间的关系得y1＋y2＝－1k，y1y2＝－1.设直线与x轴交于点N，显然N点的坐标为(－1，0)．∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝12|ON||y1|＋12|ON||y2|＝12|ON||y1－y2|，∴S△OAB＝12（y1＋y2）2－4y1y2＝121k2＋4＝10，解得k＝－16或16.