高中数学人教A版选修22课时训练第三章数系的扩充和复数的引入章末复习Word版含答案

章末复习1．复数的概念：(1)虚数单位i；(2)复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)；(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数．2．复数集复数a＋bia，b∈R实数b＝0有理数整数分数无理数无限不循环小数虚数b≠0纯虚数a＝0非纯虚数a≠03．复数的四则运算，若两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)(1)加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i；(2)减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i；(3)乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i；(4)除法：z1z2＝a1a2＋b1b2＋a2b1－a1b2ia22＋b22＝a1a2＋b1b2a22＋b22＋a2b1－a1b2a22＋b22i(z2≠0)；(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：in(n为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i；若ω＝－12±32i，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.4．共轭复数与复数的模(1)若z＝a＋bi，则z＝a－bi，z＋z为实数，z－z为纯虚数(b≠0)．(2)复数z＝a＋bi的模|z|＝a2＋b2，且z·z＝|z|2＝a2＋b2.5．复数的几何形式(1)用点Z(a，b)表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，用向量OZ→表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，Z称为z在复平面上的对应点，复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数0)．(2)任何一个复数z＝a＋bi一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出发的向量OZ→.6．复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z1、z2对应的向量OZ1→、OZ2→不共线，则复数z1＋z2是以OZ1→、OZ2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ→所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z1－z2是连接向量OZ1→、OZ2→的终点，并指向Z1的向量所对应的复数．题型一分类讨论思想的应用当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论．分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x＋yi没有说明x，y∈R时，也要分情况讨论．例1已知复数z＝a2－7a＋6a2－1＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解(1)当z为实数时，则有a2－5a－6＝0a2－1≠0∴a＝－1或a＝6a≠±1，∴当a＝6时，z为实数．(2)当z为虚数时，则有a2－5a－6≠0a2－1≠0，∴a≠－1且a≠6a≠±1，∴a≠±1且a≠6，即当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，则有a2－5a－6≠0a2－7a＋6a2－1＝0，a2－1≠0∴a≠－1且a≠6a＝6且a≠±1∴不存在实数a，使z为纯虚数．跟踪演练1当实数a为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i.(1)为实数；(2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内；(4)复数z对应的点在直线x－y＝0.解(1)z∈R⇔a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2.(2)z为纯虚数，a2－2a＝0，a2－3a＋2≠0，即a＝0或a＝2，a≠1且a≠2.故a＝0.(3)z对应的点在第一象限，则a2－2a＞0，a2－3a＋2＞0，∴a＜0，或a＞2，a＜1，或a＞2，∴a＜0，或a＞2.∴a的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．(4)依题设(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0，∴a＝2.题型二数形结合思想的应用数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现．它们得以相互转化．涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等．例2已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.解设z＝x＋yi，x，y∈R，如图．∵OA∥BC，|OC|＝|BA|，∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，即21＝y－6x＋2，x2＋y2＝32＋42，解得x1＝－5y1＝0或x2＝－3y2＝4.∵|OA|≠|BC|，∴x2＝－3，y2＝4(舍去)，故z＝－5.跟踪演练2已知复数z1＝i(1－i)3.(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．解(1)|z1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|1－i|3＝22.(2)如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆半径)＝22＋1.题型三转化与化归思想的应用在求复数时，常设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，把复数z满足的条件转化为实数x，y满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要．例3已知z是复数，z＋2i，z2－i均为实数，且(z＋ai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围．解设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i为实数，∴y＝－2.又z2－i＝x－2i2－i＝15(x－2i)(2＋i)＝15(2x＋2)＋15(x－4)i为实数，∴x＝4.∴z＝4－2i，又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i在第一象限．∴12＋4a－a208a－20，解得2a6.∴实数a的取值范围是(2,6)．跟踪演练3已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.解设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi.又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，∴4a2＝4，a2＋b2＝2，∴a＝1b＝1，或a＝1，b＝－1或a＝－1，b＝1或a＝－1，b＝－1.∴x＝1＋i，y＝1－i或x＝1－i，y＝1＋i或x＝－1＋i，y＝－1－i或x＝－1－i，y＝－1＋i.题型四类比思想的应用复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，且要注意i2＝－1.在运算的过程中常用来降幂的公式有(1)i的乘方：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i(k∈Z)；(2)(1±i)2＝±2i；(3)设ω＝－12±32i，则ω3＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0，1ω＝ω2，ω3n＝1，ω3n＋1＝ω(ω∈N*)等；(4)12±32i3＝－1；(5)作复数除法运算时，有如下技巧：a＋bib－ai＝a＋biib－aii＝a＋biia＋bi＝i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．例4计算：(1)(1－i)－12＋32i(1＋i)；(2)－23＋i1＋23i＋21－i2014.解(1)法一(1－i)－12＋32i(1＋i)＝－12＋32i＋12i－32i2(1＋i)＝3－12＋3＋12i(1＋i)＝3－12＋3＋12i＋3－12i＋3＋12i2＝－1＋3i.法二原式＝(1－i)(1＋i)－12＋32i＝(1－i2)－12＋32i＝2－12＋32i＝－1＋3i.(2)－23＋i1＋23i＋21－i2014＝－23＋ii1＋23ii＋2－2i1007＝－23＋iii－23－1i1007＝i－1－i＝i－i＝0.跟踪演练4计算：2＋i1－i21－2i＋1－i－1＋i2i5－1－i20151－i.解2＋i1－i21－2i＋1－i－1＋i2i5－1－i20151－i＝2＋i·－2i1－2i＋1－i－2ii－1＋i1－i＝2－4i1－2i＋1－3ii－1＋i22＝2－(i＋3)－i＝－1－2i.高考对本章考查的重点1．对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念．2．对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数．最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式．3．对复数几何意义的考查．在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义．